LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 7 



10. Lorsque la condition (C) est satisfaite, la relation 3A^ 2 +2B3+C=o(/5) 

 ne peut exister que pour les directions asymplotiques multiples pour les- 

 quelles elle est de rigueur. Ce cas se présente dans la 3 me classe pour la 

 direction asymplotique double, et dans la 4 ,ue classe pour la seule direction 

 asymptotique qui y existe et qui est triple. Dans celte dernière classe, la 

 valeur de (3A* + B) doit être nulle, tandis que, dans l'autre, elle ne peut 

 l'être. Si, dans le cas d'une direction asymplotique double, la condition («) 

 n'est pas satisfaite, alors le terme en a? 2 subsiste dans l'équation (B), et, par 

 suite, toutes les droites de cette direction rencontrent la courbe en deux 

 points réels ou imaginaires, et il n'existe parmi elles aucune asymptote, ou, 

 pour mieux dire, l'asymptote est située à dislance infinie, puisque, dans ce cas, 

 q = _ tf+ft+B . - «. Lorsque la valeur de z, qui satisfait à l'équation (C) 

 et à sa dérivée première , satisfait aussi à l'équation (a) , les termes en x* et 

 en «-disparaissent de l'équation (B), qui n'est plus que du 1 er degré en x, 

 et doit toujours être de ce degré pour toutes les valeurs de g, autres que 

 celles qui annulent le coefficient de x. Mais ce coefficient est une fonction 

 du 2 me degré en q, qui ne peut être réduite au 1 er , parce que (3A~ + B) ne 

 peut être nul. La condition d'annulation du coefficient de x fournit donc 

 pour q deux valeurs qui peuvent être ou imaginaires, ou réelles et iné- 

 gales, ou réelles et égales. Dans le 1 er cas, il y a une direction asympto- 

 tique double; chacune des droites de cette direction coupe la courbe en un 

 point, et il n'existe parmi elles aucune asymptote réelle; dans le second 

 cas, il y a parmi ces droites deux asymptotes distinctes parallèles qui ne 

 peuvent rencontrer la courbe à distance finie ; et dans le 3 me cas , ces deux 

 asymptotes coïncident et forment une asymptote unique double. Il y a, par 

 conséquent, pour la direction asymptotique double, quatre cas différents, 

 et comme dans chacun d'eux les deux cas de la direction asymptotique 

 simple sont possibles, il en résulte que la troisième classe admet huit genres 

 différents. 



11. Si, dans la 4 me classe, on donne à z l'unique valeur apte à satisfaire 

 à l'équation (C), la condition (/3) est satisfaite, et on a aussi 3Az + B=o. Le 

 coefficient du terme en a? 2 se réduit donc à (E3 2 + F^ + G) et celui du 

 terme en x à [(2E^ + F) y-ffts + K]. Si la valeur de z, qui satisfait à 



