6 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



que l'équation (G) admette des racines égales; dans ce cas, le coefficient est 

 forcément nul. Si (C) n'admet que des racines simples, l'équation (D) peut 

 toujours être satisfaite par une valeur réelle et finie de q, mais elle ne peut 

 l'être que par une seule valeur de cette arbitraire. 



7. Il résulte de ce qui précède que, dans toute direction asymptolique 

 simple, il v a toujours une unique droite spéciale qui rencontre la courbe 

 en deux points à distance infinie, et, par conséquent, ne peut plus la rencon- 

 trer à distance finie qu'en un seul point. Celte droite spéciale est une asym- 

 ptote de la courbe. Chaque direction asymptotique simple possède donc une 

 asymptote rectihgne, déterminée par les conditions (C) et 9 = - 5A .» +aBg+c > 

 et qui coupe la courbe à distance finie en un seul point dont l'abscisse est 



,.= A^ + E^ + Hg + L Cependant, si les valeurs de z et de q, 



aptes à satisfaire aux équations (C) et (D), satisfont également à l'équation (E), 

 cet unique point de rencontre est lui-même rejeté à l'infini, et l'asymptote 

 ne peut plus rencontrer la courbe à distance finie. Il y a, par conséquent, 

 deux cas possibles pour l'asymptote de chaque direction asymptotique simple. 

 Chacun de ces cas constitue un genre différent. 



8. Les lignes des deux premières classes ne possèdent que des direc- 

 tions asymptotiques simples; il n'en existe qu'une seule dans la l re classe, et 

 il y en a trois dans la 2 me . Les courbes de la l ,e classe ne sont donc pour- 

 vues que d'une seule asymptote rectiligne, qui peut les couper en un point, 

 ou ne pas les rencontrer à distance finie , et par suite cette classe n'admet 

 que deux genres. 



9. Chaque ligne de la deuxième classe possède trois asymptotes rectilig- 

 nes , dont chacune peut couper la courbe en un point ou ne pas la rencon- 

 trer à distance finie. Si chacun de ces cas d'une asymptote pouvait exister 

 avec les deux cas de chacune des deux autres asymptotes, il y aurait quatre 

 cas différents possibles; mais si les cas de trois asymptotes sécantes, de deux 

 asymptotes sécantes et d'une asymptote non sécante, et enfin d'aucune 

 asymptote sécante, sont possibles, il n'en est pas de même de celui d'une 

 seule asymptote sécante, à cause de l'incompatibilité qui existe entre les con- 

 ditions analytiques nécessaires à ce cas, ainsi que nous le démontrerons plus 

 loin. La deuxième classe n'admet donc que trois genres. 



