LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 5 



classes consistent dans les relations qui, pour chacune d'elles, doivent exister 

 entre les cocflicients de l'équation (Cj. 



GENRES. 



A symptotes rectitignes. 



5. L'équation (C) étant indépendante de q, chaque direction asymplolique 

 appartient à un groupe de parallèles en nombre indéfini. Lorsque la valeur 

 de z, tirée de l'équation (C), n'annule que le coeiïîcient du terme en x\ 

 toutes les parallèles du système qui correspond à cette valeur de z rencon- 

 trent la courbe à distance finie, en deux points réels ou imaginaires; mais 

 si cette valeur annule en même temps les coefficients de ar 1 et de x' 2 , l'équa- 

 tion (B) est réduite à une relation du 1 er degré en x. Il y a alors deux points 

 de rencontre à dislance infinie, et les droites qui satisfont à la fois aux con- 

 ditions (C) et (3A* S + 2B; + C) q + E^ 2 + F^ + G = o (D) , ne peuvent 

 rencontrer la courbe à distance finie qu'en un seul point; si, outre les deux 

 coefficients précités, celui de x devient aussi nul, c'est-à-dire, si l'on a 

 aussi {SXz + B)v 2 + (2Ec + V)q + H* + K = o (E), l'équation (B) de- 

 vient indépendante de x, et ne peut plus être satisfaite que par des valeurs 

 infinies de cette variable ; car on ne saurait avoir en même temps \q~' -f Eq' 2 

 + Hq-\- L = o, sans que la ligne dégénérât en un système d'une droite et 

 d'une section conique. Les droites qui satisfont aux trois conditions (C), (D) 

 et (E) ne peuvent plus rencontrer la courbe à dislance finie. 



6. Le coefficient de x 2 est une fonction de z et de q; il peut donc devenir 

 nul par l'une ou par l'autre de ces arbitraires. Lorsque l'équation (C) est satis- 

 faite, la valeur de z est déterminée, et alors le coefficient de ar ne contient 

 plus d'autre arbitraire que q, au moyen de laquelle l'équation (D) peut être 

 satisfaite, pourvu que le coefficient de q ne devienne pas nul lui-même, par 

 la valeur attribuée à z, pour satisfaire à l'équation (C). S'il le devienl , l'équa- 

 tion (D) ne peut plus être satisfaite qu'à condition que la même valeur de z 

 satisfasse aussi à l'équation Ez' 2 -\- Fz + G = o («). Or, le coefficient de q 

 dans l'équation (D) n'est autre chose que la dérivée première du coefficient 

 de x r \ ou de (C). Le coefficient de q ne peut donc devenir nul qu'à condition 



