4 LES LIGiNES DU TROISIEME ORDRE. 



qui subit certaines modifications pour passer d'un cas à un autre. La résul- 

 tante (B) doit, par conséquent, fournir les moyens de distinguer entre elles 

 les diverses lignes du 3 me ordre. 



CLASSES. 



Directions asymptotiques. 



3. L'équation (B) étant du 3 me degré, peut avoir ses trois racines réelles, 

 et Tune au moins doit l'être. Les deux lignes peuvent donc se rencontrer en 

 (rois points, et elles doivent toujours se rencontrer au moins en un point. 

 Cependant, si le coefficient du terme en x" devient nul, la seule racine réelle 

 ou l'une des trois racines réelles devient infinie, et alors les deux autres 

 racines sont imaginaires ou réelles. Dans ce cas, l'un des points de rencontre 

 est rejeté à distance infinie, et il ne peut plus exister, à distance finie, que 

 deux points de rencontre, ou imaginaires ou réels. Mais l'annulation du coeffi- 

 cient du terme en a? exige l'équation kz* -+- Bz~ -j- Cz -j- D = (C), laquelle 

 ne peut être satisfaite que par certaines valeurs de z. Or, z représente la di- 

 rection de la droite; donc il existe dans les lignes du 3 me ordre des directions 

 telles, que les droites qui en sont pourvues rencontrent la courbe en un point 

 à dislance infinie. Nous donnerons à ces directions le nom de directions 

 asymptotiques. 



4. Les trois racines de l'équation (C) peuvent être réelles, et l'une d'elles 

 au moins doit l'être. En cas de réalité des trois racines, elles peuvent être 

 toutes inégales ou simples; il se peut aussi que deux d'entre elles soient éga- 

 les ou, ce qui revient au même, qu'il y ait une racine simple et une racine 

 double; enfin elles peuvent être toutes égales, égalité qui produit une racine 

 triple. Il en résulte que les lignes du 3 me ordre possèdent toujours au moins 

 une direction asymptotique qui peut être simple ou triple; elles peuvent 

 aussi posséder trois directions asymptotiques simples, ou bien une direction 

 simple et une direction double. Chacun de ces quatre cas pouvant être con- 

 sidéré comme le caractère distinctif d'une classe, les lignes du troisième 

 ordre peuvent être divisées en quatre classes, distinguées par le nombre et 

 la nature des directions asymptotiques. Les conditions analytiques de ces 



