28 SUR LES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES 



il vient, réductions faites : 



dfc i 



ds ' R ~ °' 



Or, R, rayon de courbure de la courbe fixe, est une fonction donnée de 

 Tare de cette courbe, ou, ce qui revient au même, de l'arc s de la courbe 

 roulante (puisque les arcs correspondants de ces deux courbes sont toujours 

 égaux). Cette équation peut donc être regardée comme l'équation différen- 

 tielle de la courbe roulante entre l'angle p et l'arc s, et, par l'intégration, elle 

 donnera la solution de cette question : Quelle doit être la courbe qui roule 

 sur une courbe donnée, pour qu'un point lié invariablement à la première 

 décrive une droite. 



Par exemple, supposons que la courbe fixe soit une droite, R est infini, 

 on a donc : 



dft d$ du dS 



—- = o, yu = const, tang /x = u — = const = a, — = — , 

 as du n a 



et en intégrant 



Lu = - 

 a 



C'est l'équation d'une spirale logarithmique : a, c sont deux constantes à 

 déterminer d'après les positions initiales du point et du centre instantané. 

 On retrouve donc ce théorème de Lahire : 



Lorsqu'une spirale logarithmique roule sur une ligne droite, son pale 

 décrit une autre ligne droite. 



La méthode qui vient d'être indiquée est toutefois très-incommode et exige 

 que l'on fasse souvent plusieurs intégrations, et que l'on tienne compte du 

 signe de R. On peut résoudre le même problème par une marche beaucoup 

 plus simple, comme il suit : 



(Fig. 23.) Soient AC la courbe fixe, RC la courbe roulante dans une po- 

 sition quelconque, C le centre instantané, M le point décrivant, MX la droite 

 qu'il décrit et qui sera visiblement perpendiculaire à CM. A, O étant les po- 

 sitions initiales respectives du centre instantané et du point décrivant, rap- 



