22 SUR LES PROPRIETES GÉOMÉTRIQUES 



[Fig. 20.) 1° Ayant pris sur MF' une longueur ML = MF, la perpendi- 

 culaire WS au milieu de LF sera la normale ù l'ellipse ; 



2° Menant par le foyer F' une perpendiculaire au rayon vecteur F'M, on 

 prolongera celte perpendiculaire , au delà de la normale à l'ellipse , d'une 

 longueur KH = KF'. La droite LII coupe la normale en Z, centre de cour- 

 bure DE L'ELLIPSE. 



Uclte construction très-simple présente, en outre, ces particularités assez 

 curieuses : 1° que LZ est égal el parallèle à CN, c'est-à-dire au diamètre du 

 cercle d'inflexion (qui est égal au cercle CFNZ et placé symétriquement par 

 rapport au centre C); de sorte que la construction ci-dessus fait connaître en 

 même temps le pôle d'inflexion duquel dépend la détermination des rayons 

 de courbure des trajectoires que décrivent les poinls de la figure mobile. 



2° Il est encore évident (pie LZ = FZ; la distance du foyer au centre 

 de courbure de l'ellipse est donc égale au diamètre du cercle d'inflexion. 



3° Enfin, LZ étant parallèle à CN, qui est la normale commune, on voit 

 que notre construction du centre de courbure de l'ellipse fait connaître en 

 même temps la normale à la courbe, (pu est le lieu des points C, c'est-à-dire 

 au lieu géométrique des projections du foyer F sur les normales à l'ellipse. 



Soit D le point où C'O prolongé coupe la normale MZ : les triangles sem- 

 blables MLZ, MC'K donnent : 



MZ : MK = ML : MC = MF ; OA , 

 et les triangles semblables MF'R, MDC : 



MK : MF' = MC ou OA : MD ; 



d'où : 



MF. MF 

 MZ = 



MD 



c'est-à-dire que le rayon de, courbure de l'ellipse est une quatrième pro- 

 portionnelle aux rayons vecteurs et à la distance du centre à la tangente. 



On conclut de là une nouvelle construction bien simple : 



Par le foyer F', le point L et la projection D du centre de l'ellipse sur 



