C SUR LES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES 



On peut déduire d'une de ces propositions une conséquence assez cu- 

 rieuse, et qui n'a pas non plus, je pense, été remarquée. 



(Fig. 2.) Soit UV la courbe fixe, U'V la courbe roulante, C le point de 

 contact, et imaginons que la courbe qui se meut, invariablement liée à la 

 tombe roulante, soit une des développantes de celle-ci, U' étant son origine 

 sur la courbe. La tangente commune CM coupe la développante mobile en un 

 point .M, et, d'après ce qui précède, M est le point où elle touche son enve- 

 loppe, puisque CM est évidemment normale à celte développante. .Mais, d'un 

 autre côté, soit U le point de la courbe fixe qui coïncidait avec U' à l'origine 

 du mouvement, et US la développante de celte courbe fixe qui a son origine 

 en U, et qui est aussi normale à CM. Or, d'après la propriété des développées, 

 on a CM = arc U'C, donc CM = arc UC, donc le point M est un point de la 

 développante US. Donc : 



Lorsqu'une courbe roule sur une autre, en emportant dans son mouve- 

 ment une de ses développantes , ï enveloppe des positions successives de cette 

 dernière est une développante de la courbe fixe. 



On tire de là plusieurs conséquences; par exemple: lorsqu'un cercle roule 

 sur une droite, toute développante du cercle passe constamment par un cer- 

 tain point de celte droite : ce qui était d'ailleurs évident. 



§ 4. — Conventions. 



(Fig. 3.) 1. Soient a, u, v les distances respectives de trois points A, U, Y 

 à un même point C, situé avec eux en ligne droite, ces distances étant comptées 

 à partir du point C, positivement dans le sens CA , négativement en sens con- 

 traire, et soit T un point" tel que U soit le milieu de CT. On sait que la con- 

 dition nécessaire et suffisante pour que les poinls A, V soient conjugués har- 

 moniques par rapport à C, T est exprimée par l'équation : 



ou 



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