42 EXPOSE D'UN PRINCIPE 



De même , 



Propriété. — Si une sphère se meut de manière que son centre décrive l'axe de 

 la surface, et que le rayon soit à chaque instant égal « la longueur de la normale, 

 passant par le centre, à la parabole ayant le plus grand périmètre, elle coupera 

 dans toutes ses positions la surface suivant des sections circulaires. 



Comme les équations (10) et (11) sont indépendantes de p', on en conclut 

 celte propriété plus générale que celle qui précède : 



Propriété. — Si une sphère se. meut sur l'axe d'une parabole y- — px de 

 manière que son rayon soit à chaque instant la normale passant par le centre, 

 elle coupera chacune de ces positions suivant deux stjstèmes de sections circulaires , 

 une infinité de paraboloïdes elliptiques ayant la parabole y 2 = px pour parabole 

 principale commune et pour l'autre section principale une parabole dont le paru- 

 mètre a une longueur quelconque comprise entre o et p. 



Pour a = o, R devient imaginaire; ainsi aucune des sphères n'a son centre 

 à l'origine. 



Pour « = | , on a x' = o, R = | , d'où il suit (pie : 



Propriété. — La sphère qui renferme les deux sections circulaires dont les 

 plans passent par l'origine, passe elle-même par l'origine et a son centre sur l'axe 

 de la surface à une dislance égale ci la moitié du plus grand des paramètres. 



Des équations (10) et (11) on déduit la génération suivante de la surface. 



48. Génération du paraboloïde elliptique. — Si le centre d'une sphère va- 

 riable de rayon se meut sur une droite d'un mouvement uniforme, de manière que 

 sa distance à un plan qui se meut également d'une vitesse uniforme ne change pas, 

 et qu'en outre, l'accroissement du carré du rayon soit proportionnel au temps, le 

 coefficient de proportionnalité dépendant de la distance de son centre au plan, l'en- 

 semble des intersections du plan avec la sphère formera un paraboloïde elliptique. 



Le coefficient de proportionnalité est le même nombre qui représente la 

 distance du centre de la sphère au point où le plan coupe la ligne sur laquelle 

 le centre se meut. 



