CONCERNANT L'INTERSECTION DES SURFACES. 25 



Les deux sphères coupent l'ellipsoïde suivant deux courbes ayant pour 

 projections sur le plan des xz : 



F , x z \ = c *"~ 6 * 2 i — 6 — — a:* — 2*x — 2yz + a» -t- >» -*- 6* — />* = o 

 * ' c' 2 «- 



,.•2 V2 1.3 a 2 



F,(jr,*) = - — — c' 2 — * 2 — 2Xx - 2Zs + X* + Z 2 + 6* — ? = o. 



D'où 



F - F, = 2.r (« - X) + 2z (y— Z) — (* 2 - P) - (r 2 - Z 8 ) = o. (21) 



Celte équation est celle d'une droite ; elle est la même, quel que soit p. J'en 

 conclus que : 



Propriété. — Si l'on conçoit une infinité de sphères ayant pour centre com- 

 mun un point de la centriuuc a, y, et une autre série de sphères, ayant pour centre 

 commun le point conjugué X, Z ; ces deux systèmes de sphères couperont l'ellipsoïde , 

 suivant deux systèmes de courbes , tels que toutes les projections de l'un de ces sys- 

 tèmes coupent respectivement les projections correspondantes de l'autre en une suite 

 de points situés en ligne droite. (Je nomme projections correspondantes celles qui 

 proviennent de deux sphères d'égal rayon.) 



31. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé le centre de la sphère 

 en un point quelconque a, y du plan des £2; seulement ces deux coordonnées 

 étaient supposées satisfaire à l'équation (9'). 



Passons maintenant au cas où le centre de la sphère se trouve sur le grand 

 axe ou le petit axe de l'élipsoïde. 



Dans le premier, cas, on a a = 0, et les équations (9'), (10'), (11') de- 

 viennent respectivement 



h". v 3 



R2 = h i L_ (9") 



c- — 6- 



c . /6 S — a 2 c V 



c 2 — 6 2 i h c 2 — 6 2 



c _ /o- — a- " r iia"\ 



-y- < ,0 > 



c . /b* — a 2 c 2 r 



z = \/ — x + — — (H ) 



d V c' 2 — ô 2 c 2 — O- 



