20 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



Lorsque B = 3D, les deux diamètres conjugués sont perpendiculaires, 

 car alors 3 = 1 et z' = — 1; on a, dans ce cas, le système rectangulaire 

 auquel, dans le 2 me ordre, on donne le nom d'axes principaux. 



En prenant les diamètres conjugués pour axes des coordonnées , l'équa- 

 tion de la courbe prend la forme Ay* -{- Dj? 3 -j- ¥xy -f- IL/ -f- Kx + L = o , 

 forme qui n'appartient qu'aux équations des lignes de la première classe. 



SYMÉTRIE DIRECTE. 



28. On donne le nom d'axe de symétrie directe à toute droite bissectrice 

 d'un système de parallèles. La symétrie est orthogonale, si la droite est 

 perpendiculaire aux cordes ; dans le cas contraire, elle est oblique. Il résulte 

 de cette définition que les cordes ne doivent rencontrer la courbe à distance 

 finie qu'en deux points, ou avoir une direction asymptotique. Ce n'est donc 

 que dans les directions asymptotiques simples et dans les premiers cas de la 

 direction double et de la direction triple que l'axe de symétrie directe est 

 possible. Dans le I er genre de la & me classe, la bissectrice des cordes de la 

 direction asymptotique triple est en effet une droite; mais dans les deux 

 premiers genres de la 3 me classe, c'est une parabole qui ne peut pas dégénérer 

 en une droite, et dans le premier cas d'une direction simple, la bissectrice 

 des cordes de cette direction est une hyperbole qui, dans le deuxième cas, 

 dégénère en une droite. Il s'ensuit que la symétrie directe n'est possible (pie 

 dans le 2 me genre de la l re classe, dans le 2 me et le 3 me genre de la 2 me classe, 

 dans chacun des quatre genres de la 3 me classe, où II est nul, et enfin, dans 

 le 1 er genre de la 4 me classe. Dans ces genres, les courbes possèdent forcé- 

 ment un axe de symétrie directe, qui est l'axe des abscisses, lorsque l'équa- 

 tion a la forme (H), ou bien la forme (G), avec les conditions de F et II nuls. 

 Dans chacun de ces genres , la courbe ne possède qu'un seul axe de symé- 

 trie, sauf dans le 3 me genre de la 2 me classe, où elle en possède trois. 



SYMÉTRIE INVERSE. 



29. On nomme centre de symétrie inverse, un point tel (pie toute droite 



