LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 23 



ptote, et qu'en tout cas, la courbe est réelle entre la tangente -limite située 

 seule d'un côté de l'asymptote, et celle des trois autres tangentes-limites la 

 plus rapprochée de l'asymptote. Les lignes de la l re classe comprennent donc 

 toutes une nappe hyperbolique qui est anguinée ou conchoïdale, selon que 

 l'asymptote coupe ou ne coupe pas la courbe. Elles peuvent, en outre , com- 

 prendre une ovale conjuguée, qui doit se trouver en entier d'un même côté 

 de l'asymptote; d'après les hypothèses précitées, elle doit se trouver du côté 

 des abscisses négatives. 



PREMIER GENRE. 



33. Caractère géométrique : La courbe coupe son asymptote en un 

 point; la nappe est anguinée et hyperbolique du 2 me ordre. 



Condition analytique : H est différent de zéro. 



G, K et L peuvent être positifs, nuls ou négatifs; mais en cas de réalité 

 des quatre racines de l'équation (K), dès qu'un de ces coefficients est nul, 

 ceux des termes suivants doivent être négatifs, et si, en cas de deux racines 

 imaginaires, K peut toujours être quelconque, L doit être négatif, du moment 

 que G est nul ou négatif. 



H doit être différent de zéro, mais peut être à volonté positif ou négatif. 

 Son signe, combiné avec celui des trois racines de même signe, indique les 

 angles des coordonnées qui contiennent les deux nappes de l'hyperbole bis- 

 sectrice des cordes de la direction asymptotique, et, par suite, ceux dans 

 lesquels la courbe du 3 rae ordre converge avec son asymptote et dans les- 

 quels elle a sa majeure partie. 



Le signe de L désigne de quel côté de l'axe des ordonnées la courbe 

 coupe cet axe; celui de K. indique si l'ellipse sur laquelle se trouvent les points 

 de contact des tangentes parallèles aux abscisses, ne rencontre pas, touche 

 ou coupe l'asymptote, et celui de G indique de quel côté de cette droite se 

 trouve le centre de ladite ellipse, qui est en même temps le centre des deux 

 diamètres conjugués. 



Il y a cinq hypothèses différentes possibles à l'égard des racines de l'équa- 



