LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 25 



Caractères géométriques : La courbe consiste en une nappe anguinée, 

 pointue. 



Conditions analytiques : Les quatre racines de l'équation (K) sont réelles 

 et les trois racines de même signe sont égales : x' = x" = x' 



,m 



Exemple : xy* -\- x* — 1 Sx -f- 6y — 24 = o. ( Fig. 4.) 



38. Dans la l re et dans la 3 me espèce, la courbe peut couper Taxe des 

 abscisses en trois points. Si cela a lieu, deux des points d'intersection ap- 

 partiennent à l'ovale, dont la majeure partie reste néanmoins dans l'angle 

 dos abscisses négatives et des ordonnées positives. Dans les deux autres es- 

 pèces, la courbe ne peut couper l'axe des abscisses qu'en un seul point , qui 

 appartient à la nappe, et le point conjugué doit se trouver dans l'angle des 

 abscisses négatives et des ordonnées positives. 



39. Cinquième espèce (37 me et 38 me espèces de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe consiste en une nappe anguinée, 

 pure. 



Conditions analytiques : L'équation (K) n'admet (pie deux racines réelles de 

 signes contraires: — x' et + x" ; x"= =f « +/3l/ — 1; x'"= =pa — (3\/ — 1. 



Les lignes de cette espèce peuvent couper l'axe des abscisses en un seul 

 point ou en trois points, ou bien le toucher et le couper, soit en deux 

 points différents, soit en un seul et même point. Les trois premières circon- 

 stances ont lieu dans cette espèce, comme dans la l re et la 3 me , selon que 

 4(G 2 — 3KD) 3 g (2G 3 — 9GKD + 27LD 2 ) 2 . Les lignes de la 5 me espèce 

 peuvent aussi être munies d'un centre de symétrie inverse; ce cas se pré- 

 sente lorsque la partie réelle des deux racines imaginaires est nulle , et que 

 les deux racines réelles de signes contraires ont les mêmes valeurs numéri- 

 ques. Newton en a formé une espèce distincte, sa 38 me . 



Exemples : 2xy 8 -f x* -f 1 1 ** + 1 9a; + 3G# — 6 = o. (Fig. S.) 



xtf -fa 3 — 9x -f iOy = o. 

 Tome XXX. 4 



