20 LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 



DEUXIEME GENRE. 



40. Caractères géométriques : La courbe ne rencontre pas son asymptote 

 à dislance finie. Elle est directement symétrique par rapport à une droite. 

 La nappe est conchoïdale et hyperbolique du 3 me ordre. 



Condition analytique : H est nul. 



Cette condition exige que Tune des racines de l'équation (K) soit nulle. 

 Une seconde racine de celte équation ne peut cependant pas l'être; car, pour 

 cela, il faudrait que L fût nul avec H. Or, dans ce cas, l'équation de la courbe 

 serait divisible par x; elle deviendrait donc complexe. La nullité de l'une 

 des racines de l'équation (K) produit la réunion de l'asymptote avec une des 

 tangentes-limites, ou, pour mieux dire, elle donne à l'asymptote la qualité de 

 tangente-limite. La courbe devient par là directement symétrique, par rap- 

 port à l'axe des abscisses. 



L'une des racines de l'équation (K) étant nulle, les trois autres sont données 

 par l'équation D.r 3 -f- Gjr-f Kx -f- L = o (K'), laquelle résulte aussi de la 

 condition y = o. On a donc les mêmes conditions pour la détermination des 

 espèces que pour celle des points d'intersection de la courbe avec l'axe des 

 abscisses, ce qui est une conséquence forcée de sa symétrie par rapport audit 

 axe. Les conditions analytiques des espèces se trouvent donc dans l'expres- 

 sion 4(G a — 3KD) 3 § (2G 3 — 9GKD + 27LD 2 ) 2 . 



L'équation (K') étant du 3 me degré, sans détermination du signe du der- 

 nier terme, admet sept hypothèses différentes qui donnent naissance à sept 

 espèces différentes , lesquelles composent le 2 me genre et sont les G me à 1 2 me 

 espèces de la l rc classe. 



41. Par suite de la non-intersection de la nappe avec l'asymptote, sa 

 convergence avec elle a lieu d'un seul côté de cette droite. Si, à cause de 

 l'existence d'une direction asymptotique simple, la nappe reste hyperbolique, 

 elle ne se comporte cependant plus comme les hyperboles du 2 me ordre, qui 

 convergent, dans les deux sens, de deux côtés différents de leurs asymptotes. 

 Aussi la nature hyperbolique des branches des lignes du genre qui nous 



