58 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



63. Chaque t'ois que les quatre racines sont réelles et de même signe, le 

 signe de F ne peut changer, ainsi que sa valeur théorique le démontre. Il 

 en est de même dans le cas de deux racines imaginaires, lorsque leur 

 partie réelle est nulle, ou de même signe que les deux racines réelles; 

 tandis que, dans le cas contraire, ainsi que dans celui de deux couples de 

 racines réelles de signes différents, F peut rester positif ou devenir nul ou 

 négatif. Dans le premier cas, le triangle asymplotique reste dans l'angle des 

 coordonnées négatives, et toutes les tangentes-limites se trouvent du côté de 

 leur asymptote tourné vers l'intérieur de ce triangle. Dans le second cas, 

 les trois asymptotes passent par un même point (l'origine). Dans le troisième 

 enfin, le triangle asymptotique est transporté dans l'angle des coordonnées 

 positives, et toutes les tangentes-limites se trouvent du côté de leur asymptote 

 tourné vers l'extérieur dudit triangle; mais ce changement de position est pro- 

 duit par la seule translation de la 3 me asymptote parallèlement à elle-même, 

 laquelle, dans sa marche, a entraîné les quatre tangentes de sa direction; le 

 nomhre des tangentes, leur nature et leur position par rapport à leur asym- 

 ptote, restent donc toujours les mêmes. La variation du signe de F et l'an- 

 nulation de ce coefficient ne constituent donc pas des espèces diverses : elles 

 donnent seulement naissance à des sous- espèces de chacune des espèces 

 dans lesquelles ces variations sont possihles. Néanmoins, comme, dans le cas 

 de deux couples de racines réelles de signes contraires, la translation du 

 triangle asymptotique s'opère par le mouvement de l'asymptote de la nappe 

 anguinée, et comme, dans chacune des positions de cette asymptote, il y a 

 toujours deux tangentes-limites du côté de cette droite tourné vers l'intérieur 

 du triangle asymptotique, et deux autres du côté tourné vers l'extérieur dudit 

 triangle, l'espèce répondant au cas n'admet que deux sous- espèces distin- 

 guées par les conditions de F différent de zéro et de F nul; tandis que cha- 

 cune des autres espèces dans lesquelles F peut varier de signe, admet les 

 trois sous-espèces résultant des hypothèses F= o. 



lii. Première espèce (l ,e espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe se compose de trois nappes extrê- 

 mes, disjointes, et d'une ovale intermédiaire, séparée des nappes. 



