LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 43 



isolément égale à une des racines de l'autre signe; c'est la variété dont 

 Newton a formé sa 27 me espèce. 



Exemples : ixf -f- ix\ij + 48y + 7 l Jx + 90 = 0. 



kxif + 4x 2 # + 8y + 9x =o. [Fig. 24) 



DEUXIEME GENRE. 



7 1 . Caractères géométriques : Deux asymptotes dont chacune coupe la 

 courbe en un point, et une troisième asymptote qui ne la rencontre pas à dis- 

 tance finie. La courbe est directement symétrique par rapport à une droite; 

 elle possède six branches illimitées, dont quatre sont de nature hyperbo- 

 lique du 2 mc ordre, et les deux autres sont de nature hyperbolique, spéciale 

 au 3 me ordre. 



Conditions analytiques : L'une des quantités H, ou K,ou BK — CH) est 

 nulle ; les deux autres sont différentes de zéro. 



Quelle que soit l'asymptote non sécante, elle pourra toujours être prise 

 pour axe des ordonnées; la condition analytique du 2" R ' genre sera alors 

 H =o, avec K différent de zéro. Dans ce cas, les deux branches illimitées 

 de la direction de l'axe des ordonnées convergent avec cet axe d'un seul 

 côté : ce sont donc elles qui ont la nature hyperbolique du 3 me ordre, dont la 

 courbe Mxy* + N = o est le type. L'axe de symétrie est la médiane du côté 

 formé, dans le triangle asymptotique, par l'asymptote non sécante, et passe 

 par le sommet formé par les deux asymptotes sécantes. 



72. La condition H = o réduit l'équation (I. 1) à CV + 2FCV + 

 ( f 2 — 4BK ) z 2 — 4BL* = o = x [ ( C V + 2FCV ) + (F 2 — 4BK ) x — 4BL] ; 

 l'une des racines de celte équation doit donc être nulle, et les trois autres 

 sont données par l'équation CW+ 2FCV + (F 2 — 4BK) x— 4BL = o (['); 

 et comme, d'après nos hypothèses, la racine de l'équation (1.1) dont la valeur 

 numérique est la moindre, a été désignée par — x', on doit avoir x' = o. 

 Portant cette valeur dans les expressions du § 56, on obtient les valeurs 

 théoriques appropriées au 2 rae genre. 



