44 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



Par suite de H = o, l'hyperbole bissectrice des cordes de la direction de 

 Taxe des ordonnées dégénère en une droite ^By + Cx -(- F = o, qui est 

 Taxe de symétrie. Les deux autres hyperboles continuent à subsister; la 

 combinaison de leurs équations donne Cx [2B// -f- Cx -f- F] = o, ce qui 

 indique qu'elles se coupent sur Taxe des ordonnées et sur l'axe de symétrie. 



F 1 / " 



Ces points d'intersection sont donnés par y = — — ± - [/ F* - — 4BK et 



F 1 / ~ ~ 



y = — — ± — l/p- -4- 12BK. Les deux hyperboles bissectrices se rencontrent 

 donc toujours au moins en deux points situés sur l'axe de symétrie, si K 

 est positif, et sur l'axe des ordonnées, si K est négatif. En outre, dans le 1 er 

 cas, ces deux bissectrices se coupent sur l'axe des ordonnées, s'y touchent, 

 ou ne s'y rencontrent pas, selon que F" 2 — 4BK§ o, et, dans le second cas, 

 elles se coupent sur l'axe de symétrie, s'y touchent, ou ne s'y rencontrent 

 pas, selon que F 2 = 12KB. 



73. Dans le 1 er genre, les nappes sécantes ont été déterminées par l'en- 

 semble des conditions de H et K positifs, et de(BK — CH) négatif. Lorsque 

 II est nul, l'ensemble de ces conditions devient impossible; car elles se ré- 

 duisent alors à K > o et K < o, relations qui ne peuvent exister en même 

 temps. Il en résulte que, si K est positif, les deux nappes qui convergent avec 

 l'axe des ordonnées coupent chacune sa deuxième asymptote, et que, si Iv 

 est négatif, c'est la nappe qui converge avec l'axe des abscisses et avec la 

 3 me asymptote qui coupe chacune de ces droites. Mais le signe de K 

 n'exerce aucune influence ni sur le nombre des tangentes-limites, ni sur leurs 

 positions relatives; la variation de ce signe ne constitue donc pas des espèces 

 différentes; néanmoins on doit en tenir compte, en partageant en deux sous- 

 divisions chacune des espèces dans lesquelles cette variation est possible. 

 Le signe de K dépend de celui de (l / x iv — \/x" — [/'x'"); il s'ensuit que K 

 ne peut varier de signe que si les trois racines sont de même signe et 

 inégales, ou si x" = x'", ou bien encore s'il n'existe qu'une seule racine 

 réelle; dans tous les autres cas, K est invariable de signe et négatif. Les 

 hypothèses différentes possibles à l'égard des racines de l'équation (1. 1) sont 

 au nombre de sept, dont chacune fournit un cas différent et, par suite, elles 

 donnent naissance à sept espèces, qui sont les 8 rae à 14 me de la 2 me classe. 



74. Tous les cas du 1 er genre dans lesquels F est invariable de signe, 



