28 LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 



Exemple : xif + x* + 1 5.c 2 + 6 Sx + 8 1 = o. [Fig. S.) 



45. Neuvième espèce (42 me espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe consiste en une seule nappe con- 

 choïdale, pointue. 



Conditions analytiques : Les trois racines de l'équation (K') sont réelles 

 et égales : x' = x" =x'"; x" = o; G 2 = 3KD; G 3 =27LD 2 . 



Exemple : xtf + as 3 + 6x 2 + d 2x + 8 = o. {Fig. 9.) 



La courbe inventée par Diodes, pour la résolution du problème de deux 

 moyennes proportionnelles, et à laquelle ce géomètre a donné le nom de 

 rissoïde, appartient à cette espèce. 



46. Dans chacune des quatre espèces qui précèdent, G, K et L doivent 

 être invariablement positifs; le centre général y est donc impossible : c'est 

 la racine positive de l'équation (K) qui est devenue.nulle, et, par suite, toute 

 la courbe se trouve d'un seul et même côté de l'asymptote. 



47. Dixième espèce (40 me espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe se compose d'une nappe coneboï- 

 dale, et d'une ovale conjuguée isolée et séparée de la nappe par l'asymptote. 



Conditions analytiques : Les trois racines de l'équation (K') sont réelles , 

 de signes différents, et celles qui sont de même signe sont inégales : x" < as'"; 

 x' = o; x" différent de zéro, ou bien 4(G 2 =f 3KD) 3 > ( ± 2G 3 =f 9GKD 

 — 27LD 2 ) 2 . 



Exemple : xtf + a; 3 -f 9x a — SOx — 200 = o. {Fig. 1 0.) 



48. Onzième espèce (44 me espèce de Newton). 



