30 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



DEUXIÈME CLASSE. 



5 1 . Caractères géométriques : Trois directions asymptotiques simples. 

 Forme générale de l'équation :Bxy~ — Dx z -f- Gar -\- Kx -f Wy-\-L = o. 



Conditions analytiques : Dans l'équation de la forme (H), B et D doivent 

 être de signes contraires, sans être nids. 



Valeur générale d'une ordonnée : 



H I . / / G K 



— - ± V 4BU x 1 — - x 5 



2B.x 2Bx V \ D D 



x l — — x 



D 4 BU 



Une équation de la forme qui précède indique que l'asymptote de Tune 

 des directions simples est prise pour axe des ordonnées. Il existe cependant trois 

 pareilles asymptotes; on peut donc en prendre deux pour axes des coordonnées. 

 Dans ce cas, l'équation a la forme Bxy- -j- Cx a -y -f Fary + Hy -f Kx -f- L = o, 

 (L). Cette forme, qui est symétrique, se prête plus facilement à la discussion : 

 par ce motif, nous l'adopterons pour la détermination des espèces de la 

 2 me classe. 



52. Dans l'équation (L), le signe d'aucun des termes n'est déterminé; les 

 coefficients B, C, II et K ne peuvent cependant pas devenir nuls, et l'on doit en 

 conclure que la variation de signe de ces coefficients se rapporte à un ordre 

 de faits autre que le changement d'espèce. On peut, en effet, obtenir toutes 

 les combinaisons possibles de signes de ces quatre coefficients par le simple 

 changement de signe des variables, et en remplaçant l'une des deux asym- 

 ptotes prises pour axes des coordonnées, par celle qui, primitivement, n'avait 

 pas servi d'axe. Quant à F et à L, le changement simultané de leurs signes 

 peut être obtenu par le changement de signe des variables : il n'y a que la 

 variation de signe de l'un de ces coefficients isolément qui soit de nature à 

 exercer une influence sur les affections de la courbe. On verra plus loin quelles 

 sont ces conséquences; nous nous bornerons, pour le moment, à dire que 



