LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 31 



lous les cas possibles sont donnés par les équations Bxi/ 2 -)- Cary -j- Vxy-\- H y 

 + Kx ± L = o (L') et Bxtf + Cary ± F*y + Hy + Rœ + Il — o (L"). La 

 première appartient aux cas dans lesquels F est invariable de signe, et la 

 seconde à ceux dans lesquels le signe de ce coefficient peut changer, sans 

 qu'il en soit de même pour celui de L. Dans chacun de ces deux cas, le 

 coefficient dont le signe est variable peut devenir nul. 



53. Dans les classes qui ne possèdent qu'une seule direction asymplotique 

 simple, il n'y a que l'asymptote de cette direction qui puisse être prise pour 

 axe des coordonnées; il n'y a alors qu'une seule équation de la forme (H), 

 et, par suite, qu'une seule équation des tangentes-limites; mais, dans la 2 me 

 classe, qui admet trois asymptotes différentes, il y a trois combinaisons diffé- 

 rentes qui permettent de prendre deux de ces asymptotes pour axes des 

 coordonnées; il en résulte trois équations différentes pour la courbe, toutes 

 les trois de la forme (II) ou (L), et, par suite, trois équations différentes des 

 tangentes-limites. Il se pourrait donc que certaines hypothèses faites à l'égard 

 des racines de l'une de ces trois équations, donnassent, pour les deux autres 

 équations ou pour l'une d'elles, une hypothèse différente. Dans ce cas, 

 il est évident qu'en faisant celte dernière hypothèse sur la première équa- 

 tion, on aura pour les deux autres équations ou pour l'une d'elles, les cas 

 de l'hypothèse faite primitivement sur la première. Ces deux hypothèses 

 différentes, possibles à l'égard des racines de la même équation, conduiraient 

 donc à des courbes identiques. Il faut, par conséquent, pour la détermination 

 des espèces , connaître les effets que produiraient sur les racines de deux des 

 équations précitées , toutes les hypothèses possibles à l'égard des racines de 

 la troisième. 



54. Si l'on résout l'équation (L) par rapport à y et ensuite par rapport 

 à x, on trouve que la bissectrice des cordes parallèles aux ordonnées a pour 

 équation 2B.xy + Cx* + Fx + H = o, hyperbole dont les asymptotes sont 

 l'axe des ordonnées et la droite 2B//-|-Ca;+F = o; en outre, l'équation de la 

 bissectrice des cordes parallèles aux abscisses est 2Ca;y + Hy' 2 -f Fy -+- K = o, 

 hyperbole dont les asymptotes sont l'axe des abscisses et la droite 2Ca; 

 + B//+F = o. Les cordes parallèles à la 3 me asymptote ont pour bissec- 

 trice l'hyperbole Wif — CV + BFy — CFœ -f BR — Cil = o , équation qui 



