52 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



est la résultante de la combinaison des équations des deux autres bissectrices. 

 Cette dernière hyperbole passe donc aussi par les points communs aux deux 

 autres; ses asymptotes sont les droites By-\-Cx-\-F = o et By = Cx;\a pre- 

 mière est la 3 me asymptote de la courbe du 3 me ordre, et la deuxième a pour 

 équation la résultante de la combinaison des équations des asymptotes des 

 deux premières hyperboles, autres que celles qui leur sont communes avec la 

 courbe du 3 me ordre. Ces trois asymptotes passent donc par le même point. 

 Elles sont les médianes des trois côtés du triangle asymptotique, dont les 



F F 



côtés adjacents à l'origine sont x = — - et y = -g- Ce triangle est dans 

 l'angle des coordonnées négatives, si F est positif; dans le cas contraire, il 

 est dans l'angle des coordonnées positives; et il se réduit à un point, si F=o. 

 55. Chaque hyperbole bissectrice coupe la courbe aux points de contact 

 des tangentes parallèles à l'asymptote commune à la courbe et à cette hy- 

 perbole. On obtient donc les coordonnées des points de contact de toutes les 

 tangentes-limites, ou bien ces tangentes elles-mêmes, en combinant l'équa- 

 tion de la courbe avec celles des trois bissectrices. Cette combinaison donne: 



( 1 . C%* -+- 2CFx 3 + (F 2 -+- 2CH — 4BK) x 2 -+- (2FH - 4BL) x + H 2 = o. 

 L | 2. B a %* -+- 2B'Li/* -+- B (FL — 2IIK) tf — 2BKLy -4- L (CL— FK) ■+- HK* = o. 



( 1. BV + 2BF/- + (F 4 ■+■ 2BK — 4CH) xf- -t- (2FK — 4CL) y + K 2 = o. 

 IL \ 2. C 2 Kx 4 -t- 2C* 2 Lx 3 + C (FL — 2HK) x 2 — 2CHLx -+- L (BL — FH) -t- H 2 K = o. 



I \ . C 2 (BR — Cil) x 4 -t- 2C 2 (BL — FH) x 3 -+- [ 2CII (BK - CH) + CF (BL — FH) ] x^ ■+- 

 \ -+- 2CH (BL — FH) x + H 2 (BK — CH) -+- BL (BL — FH) = o. 

 lTLm 2. B 2 (BK — CH)»/ 4 — 2B 2 (CL — FK)/> + [2BK (BK — CH) — CF (CL — FK)] i/ 2 - 

 — 2 BK (CL - FK)y — K 2 (BK — CH) + CL (CL — FK) = o. 



Si l'on désigne par X,, X',', X',", X 1 ;, les abscisses des points de contact 

 des tangentes parallèles aux ordonnées et par Y',, Y',', Y,", Y', v , les ordon- 

 nées des mêmes points, l'équation (I. 4) donnera les premières, et l'équation 

 (I. 2) fournira les secondes. De même, les équations (II. 1) et (II. 2) four- 

 niront les ordonnées et les abscisses des points de contact des tangentes pa- 

 rallèles aux abscisses que nous désignerons respectivement par Y'„ Y*, Yâ", 

 Y? et X' 2 , X' 2 ', X';, Xy. Enfin, les équations (III. 1) et (III. 2) donneront 

 les abscisses et les ordonnées des points de contact des tangentes parallèles 

 à la 3 me asymptote : on les désignera par X' 3 , X'â, X' 3 ', X 3 V et Y 3 , Y 3 , Y 3 ", Y 3 \ 



