36 SUR LES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES 



{Fig. 26.) Épicycloïde. — Soient 0, 0' les centres respectifs du cercle 

 fixe et du cercle roulant, C le centre instantané, M le point décrivant et MU 

 la normale à sa trajectoire; A, A' enfin les points en contacta l'origine du 

 mouvement, et BM l'arc de cercle de rayon O'M décrit du centre 0'. L'aire U 

 est toujours le secteur A'MU. Les arcs AC, A'U étant égaux, les angles et 

 0' sont en raison inverse des rayons R et R', et la rotation totale à partir de 

 l'origine, qui a pour expression -f 0', devient 



OR' R + R' 



0' + = 0'. 



R R 



L'angle en 0' est, d'ailleurs, la différence des angles A'MC, MCO', d'où 

 il résulte, par un raisonnement exactement semblable à celui que nous avons 

 fait pour la cycloïde, que, si l'on désigne par S l'aire A'MBU comprise entre 

 les arcs UA', BM et les rayons O'A', O'U, on aura pour expression de l'aire 

 désignée par V : 



r -+- R' 



R 



[2U 



et, par conséquent, l'aire I, comprise entre l'épicycloïde, le cercle fixe et 

 les normales AO, CM, est donnée par l'équation 



_„«.Lt* ,„_.,. 



Après une révolution complète du cercle roulant, U est égal à l'aire A de 

 ce cercle, et S à A — B, B désignant l'aire du cercle que décrit le point 31 

 autour du centre 0' : on a donc, pour l'aire totale de l'épicycloïde correspon- 

 dante à une révolution entière du cercle roulant , 



R + R' 



On passe très-facilement de là aux expressions algébriques de ces aires, 

 comme pour la cycloïde. 



