DES MOUVEMENTS PLANS. 3S 



ce qui est évidemment Taire MCB comprise entre CO, CM et la circonférence 

 de rayon OM décrite du centre 0; et comme 



surf. MCB = surf. A'MCB — surf. A'MC, 



on en conclut que l'aire comprise entre la cycloïde allongée M,M, sa base AC 

 et les normales M, A, MC, est égale à trois fois l'aire du secteur circulaire 

 A'MC, moins l'aire A'MBC comprise entre les positions correspondantes de 

 ces mêmes normales dans le cercle roulant , et les circonférences de rayons 

 OA', OM. En désignant donc par I l'aire A'MBC, par a, b les rayons res- 

 pectifs OA', OM , et par u> l'angle dont le cercle mobile a tourné autour de 

 son centre, on a 



b a -\ 3 



l 2 H a — - ttb sin a. 



2 / 2 



Après une révolution entière du cercle générateur, U est égal à Taire A 

 du cercle lui-même, Taire A'MBC est égale à Taire de la couronne comprise 

 entre les deux cercles; en désignant par B Taire du petit cercle, on a donc : 



E = 5A — (A — B) = 2A + B. 



L'aire d'une cycloïde allongée, correspondante à une révolution entière du 

 cercle générateur , est donc égale à deux fois l'aire du cercle générateur, 

 augmentée de l'aire du cercle que décrit le point mobile autour de son centre. 



Dans la cycloïde ordinaire, le point décrivant est sur la circonférence du 

 cercle roulant, Taire A'iMBC est donc nulle : 



L'aire comprise entre la cycloïde, sa base et une normale quelconque, 

 est triple de l'aire du segment retranché dans le cercle roulant par cette 

 normale. 



Après une révolution complète, on retrouve le théorème ordinaire : 



e = 3A. 



