54 SUR LES PROPRIETES GÉOMÉTRIQUES 



du centre instantané au point décrivant, et pour angle polaire la rotation cor- 

 respondante de la figure à partir de sa position primitive. La somme de ces 

 aires, si les deux mouvements de la normale ont lieu en sens contraire, leur 

 différence, s'ils ont lieu dans le même sens, donne précisément Taire cherchée. 

 D'où résulte le théorème suivant : 



Théorème XVI. — Désignons par 2 l'aire comprise entre la courbe fixe, 

 la trajectoire d'un point et deux normales à cette dernière ; par U le secteur 

 compris, sur la figure mobile, entre les positions correspondantes de ces nor- 

 males et la courbe roulante; par V, enfin, le secteur correspondant dans une 

 courbe décrite en prenant pour rayon vecteur la normale variable à la tra- 

 jectoire et pour angle polaire l'angle dont la figure mobile a tourné à partir 

 de sa position primitive jusqu'à la position que l'on considère. On aura 



s = U ± V, 



suivant que la rotation de la normale dans la figure mobile et sa rotation 

 autour du centre instantané, ont lieu en sens contraire ou dans le même sens. 



On arrive au même résultat parla considération de Taire infiniment petite, 

 décrite par la normale entre deux positions infiniment voisines de la figure 

 mohile. 



Le théorème précédent permet d'obtenir très-facilement et sans aucune 

 intégration, des aires qu'il serait peut-être très-long de calculer par les mé- 

 thodes ordinaires. Nous allons en voir quelques exemples : 



1. Cycloïde. — Soient (fig. 23) M le point décrivant, supposé dans l'in- 

 térieur du cercle roulant; À, A' les points primitivement en contact; M, la 

 position correspondante du point M; MC la normale actuelle et le centre du 

 cercle roulant : Taire U est ici le secteur circulaire À'MC. L'angle de rotation 

 de la figure, depuis sa position primitive, est égal à l'angle du centre ou à 

 la différence des angles A'MC, MCO. Donc, Taire V sera égale à la différence 

 de Taire décrite , en prenant pour rayon vecteur la normale variable CM , et 

 pour angle polaire A'MC, c'est-à-dire de Taire A'MC ou U, et de Taire décrite 

 en prenant pour rayon vecteur la normale, et pour angle polaire l'angle MCO; 



