52 SUR LES PROPRIETES GEOMETRIQUES 



D'où 



ily du 



de = 



et en intégrant : 



V*ay — y"- ' Vlau — tf 



6 = 2 arc sin \/ — ; 

 V 2o 



la constante est nulle , parce que u et e s'évanouissent en même temps. 

 On tire de là immédiatement : 







u == 2a sin 2 — = a (t — cos 0), 



équation qui représente une épicycloïde dont le cercle fixe et le cercle rou- 

 lant sont égaux et ont pour diamètre a. De là résulte cette autre proposition 

 que je crois également nouvelle : 



(Fig. 24.) Etant donnée une épicycloïde , décrite par un point d'un cercle 

 qui roule extérieurement sur un cercle de rayon égal, et une cycloïde indé- 

 finie dont le cercle générateur a un diamètre double des précédents , si l'on 

 place le point de rebroussement de l' épicycloïde sur l'un des points de rebrous- 

 se ment de la cycloïde, et qu'on fasse rouler intérieurement la première sur 

 la seconde, le point de rebroussement de ï épicycloïde décrira une droite indé- 

 finie qui coïncide avec la base de la cycloïde. 



Enfin, une dernière conséquence qui résulte des considérations précédentes, 

 est celle-ci : le point qui décrit une ligne droite appartient au cercle d'in- 

 flexion , en sorte que le pôle d'inflexion est au point de rencontre de la nor- 

 male commune et de la droite que décrit le point mobile. Si donc on connaît le 

 centre de courbure de la courbe fixe , on construira facilement le centre de 

 courbure de la courbe roulante au moyen du théorème V; si l'on connaissait 

 celui de la courbe roulante, on en déduirait celui de la courbe fixe. De là 

 résulte encore un nouveau moyen de déterminer les centres de courbure. 



Exemple. — Dans la spirale logarithmique roulant sur une droite, le pôle 

 d'inflexion est au point de rencontre de la normale commune et de la droite 



