LES LIGNES DU TROISIEME ORDKE. 35 



Les coefficients de ces six équations sont tous des fonctions des coeffi- 

 cients de l'équation (I. 1), et, comme les racines d'une équation sont des 

 fonctions de ses coefficients et que, par contre, chaque coefficient peut être 

 exprimé en fonction des racines, il est permis d'en conclure que les racines 

 de cinq quelconques des six équations qui précèdent peuvent être expri- 

 mées en fonction des racines de la sixième. 



56. Le dernier terme de l'équation (L 4) étant positif, les racines réelles 

 de même signe doivent être en nombre pair. Supposons-les toutes négatives 

 et désignons-les par — x',- — x", — x'" et — x"; supposons, de plus, en cas 

 d'inégalité des racines, #'< a?"< x' < x n : on aura — =x' -\-x" -\- x'"-\-x", 

 tfoùF=ï{x'+x»+x'" + x n ); F 2 +2CH— 4BK = C 2 [x'x"-f(a;'+x") 

 ( x '»+ x ")-\-x'"ar]; 2FII— 4BL = C 2 [xV(x'" + x' v ) + a?"VV + ^")] et 

 H = C| x ] x"x"'x'\ Remplaçant F et H par leurs valeurs respectives, on aura : 



K = — [Vx' + Vx" — \/x'" - Vx" 1 ] [Vx' -+- Vx" -+- \/x'" -+- Vx"] [Vx' — Vx" — Vx'" 

 1GB 



-+- Vx"] [Vx' — Vx" -+- Vas'" - Vx"]. 



C 



I. = [Vx'x" — Vx'"x"] IVx'x'" — Vx"x"] [Vx'x" - Vx"x'"]. 



4B 



BK — Cil = ^- [Vx' -4- Vx" - Vx'" + Vx'-] [Vx' + Vx" -4- Vx"' - Vx"} [Vx' - Vx" 

 - Vx"' - Vx"] [Vx' — Vx" -+- Vx'" + Vx"]. 



K sera donc positif, nul ou négatif, selon que \/x' — \/x" - -J/V" + 

 ]/x"% o. L sera positif, nul ou négatif, selon que \/x'x' y — [/x"x'"= o, et 

 BK — Cil sera positif, nul ou négatif, selon quel/V-f- ]/x" -\-\/x'"— \fx x " = o. 



Portant les valeurs de F, K, L et H dans les six équations du § 55, cha- 

 cune d'elles sera décomposable en quatre facteurs du premier degré en x ou 

 en y, dont chacun donnera une racine de l'équation dont il fait partie. On 

 aura de cette manière : X, = — x, \[= — x", X," = — oc", X" = — x**. 



cV ■ . /x"x'"x" ! 



Y,< = T ^x'-x"-x'"-x"^^-^-\, 



c r , „ . /x' x" x"~\ 



Yi - âl x ~ x ~ x -*" +9 v-i^-J i 



Y,' = - - \vx' - Vx" - Vx"' + Vx" ; 

 4B L -I 



Vx' + Vx" - Vx'" - Vx" ; 



C 



4B| 



Tome XXX. 



