34 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



Vx'x'Wx'"— Vx") ~Vx'"x'\Vx'-Vx") „_ Vx , x"(Vx"-Vx"' ) +Vx"'x"(Vx"-\ -ri 

 x «' = y x ' —Vx"- Vx'" ■+- Vx" ' Vx'— i/x"-+-l/x'"-l/x" 



, _ Vx'"x"(Vx'-t-Vx") - Vxx'(Vx , "+Vx") _ Vx , "x"(Vx'+Vx")-y-Vx'x' , (Vx , "+Vr" ) . 



Xi " = l/x'-t-l/x" — l/x'"-l/x" ' l/x'-t-l/x"-+-l/x"'-l-l/x" 



x * " y x" - Vx' -+■ l/x"' -t- Vx" . "~ Vx'-Vx"-t-Vx'"-*-Vx' v 



. ,„_ Vx'"x"(Vx'+Vx") - Vx'x'Wx" - 1 / x") x „_ _ Vx"'x"(\, / x'-+-Vx")+Vx'x"(Vx"— Vx") . 



X = ~ l/r' -+- l/x" - l/x"' -+- l/x" 3 ~ " Vx'+VM -+\ x'"— l/x" 



.,_ c [( Vx"+Vx-) [(Vx-'-vx'y-iyx» -t/x"') a ]H-(t/x -, -v/x')[(t/x"-t-y/x" , )--(V / x' + i/x)-; ~| 



Yj = iÊL ~~ l/x" — l/x' -f- l/x'" H- l/x" J' 



. „ _ C [" (l/x" -4- l/x'") [ (l/x" - l/x')- - (l/x" - l/c'")*] -+- (Vx" - Vx') [(l/x'"-t- Vx"f - (Vx 11 -t- l x x')-; "| . 

 « " IbL l/x' — l/x" H- l/x'" + l/x" J ' 



. ,„_ C Rl/X"— l/x"')[(l/x' + V/x")' — (l/x"-4-l/x"Q a l + (l/x' H-l/x")[(l/x" — 1/X'")'-(V/X"-1/X , ) i j l 



Yî = TÏÏL l/x'-l-l/x" — l/x r "+l/x" J 



_ C_ [" (l/x"— l/x"') [ (l'x" -4- 1 i') ! - (l/r" -t- Vx'"f] -+- (Vx"+Vx') [(Vx" - Vx-)* - (Vx" - Vx'ri l 

 ! " = 4BL l/x' h- l/x" + l/x'" -l/x" J 



Ces valeurs théoriques sont aptes à faire connaître les conséquences de 

 toutes les hypothèses possibles à l'égard des racines de l'équation (I. 1), en 

 donnant kx', x", x'", et x n les valeurs appropriées à ces hypothèses; elles 

 peuvent, par conséquent, servir à faire distinguer tous les cas réellement dif- 

 férents, et, par suite, toutes les espèces possibles dans la 2 me classe. 



57. Toutes les lignes de la 2 me classe possèdent trois asymptotes recti- 

 lignes, avec chacune desquelles elles convergent dans les deux sens; elles 

 doivent donc posséder six branches illimitées, et, par suite, trois nappes, dont 

 une seulement peut être anguinée ou conchoïdale; car, pour converger avec 

 une seule asymptote, il faut que la courbe s'étende tout le long de cette droite, 

 qu'elle peut couper ou ne pas couper à distance finie, selon que la conver- 

 gence a lieu des deux côtés ou d'un seul côté; mais, dans tous les cas, celte 

 nappe doit couper chacune des deux autres asymptotes, attendu qu'elles sont 

 elles-mêmes sécantes à l'asymptote de cette nappe. Les deux autres nappes 

 ne peuvent donc plus couper ces asymptotes, ce qu'elles devraient faire ce- 

 pendant toutes les deux, ou au moins l'une d'elles, si elles pouvaient être 

 anguinées ou conchoïdales. L'observation qui précède montre que l'existence 

 d'une partie anguinée ou conchoïdale exige l'intersection de la courbe avec 

 au moins deux de ses asymptotes. II s'ensuit qu'une pareille nappe ne peut 

 se rencontrer que dans les deux premiers genres. Lorsquelle existe, les deux 



