LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 35 



autres nappes doivent forcément être inscrites. Nous ajouterons qu'elle exclut 

 toute ovale séparée ou réunie, fût-elle même réduite à un point; car, en tirant 

 à cette ovale une sécante parallèle à une des asymptotes des nappes inscrites , 

 celte sécante devrait aussi couper la nappe anguinée : elle rencontrerait ainsi 

 la courbe en trois points, ce qui est impossible à toute droite d'une direction 

 asymptotique. L'ovale, le point, le nœud ou la pointe ne peuvent donc 

 exister qu'avec trois nappes qui ne sont ni anguinées ni conchoïdales. L'ovale 

 et ses analogues doivent toujours être inscrites dans le triangle asymptoti- 

 que; le nœud ou la pointe ne sont, par conséquent, possibles qu'en cas où une 

 des nappes puisse pénétrer dans l'intérieur de ce triangle, c'est-à-dire couper 

 deux asymptotes. L'ovale et toutes ses dérivées sont impossibles avec une 

 nappe cruciforme , qui peut être considérée comme le résultat de la réunion 

 dune nappe anguinée ou conchoïdale avec une autre nappe. Dans le 1 er 

 genre, lorsqu'il n'y a pas de nappe anguinée, l'une des nappes doit être cir- 

 conscrite, une autre ambigène, et la dernière inscrite; dans le 2 me genre, lors- 

 qu'il n'existe pas de nappe conchoïdale, il peut y avoir deux nappes am- 

 bigènes avec une nappe inscrite, ou bien deux nappes inscrites avec une 

 nappe circonscrite; dans le 3 rae genre, les trois nappes sont toujours inscrites. 



PREMIER GEJNRE. 



58. Caractères géométriques : La courbe coupe chacune de ses asymptotes 

 îcciilignes en un point; elle possède trois nappes hyperboliques du 2 me ordre. 



Conditions analytiques : H, K et (BK — CH) différents de zéro. 



Ces conditions exigent qu'aucune des racines de 1 équation (I. 1) ne soit 

 nulle et que {\/x' + \/x" -\- \/x"< — \/x ,y ), ainsi que {\/x' — \/x" — \/x'" 

 ■\-\/x"), ne le soient pas non plus; et, comme nous avons supposé II et K 

 positifs, on doit avoir \/x' v + ]/x' > ]/x"-\-\/x'". Cette hypothèse est com- 

 patible avec chacune des hypothèses ]/x" — |/V ^ \/x"-{-\/x'"; (BK — CH) 

 peut donc être positif ou négatif. La supposition de K et H positifs a pour con- 

 séquence que la nappe convergente avec les deux axes coordonnés doit être 

 circonscrite, et si nous y ajoutons l'hypothèse BK — CH< o, nous disons 



