36 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



par là que la nappe convergente avec l'axe des abscisses et la 3 me asym- 

 ptote doit être ambigène, et, par suite, que celle qui converge avec la 3 me 

 asymptote et Taxe des ordonnées doit être inscrite. De cette manière, la posi- 

 tion de chacune des trois nappes à l'égard de leurs asymptotes, se trouve fixée. 

 Lorsque l'équation de la courbe est de la forme (L), les trois asymptotes 

 sont données par les équations x = o, y =u et By -f- Cx -j- F = o. La 

 courbe coupe donc les deux asymptotes prises pour axes aux points y = -^ 

 et * = — — et la droite qui passe par ces deux points a pour équation IL/ 

 + l\x + L = o. En combinant cette équation avec celle de la courbe, on a 

 Bxy*-\- Gx*y -f- Fyx=xy (By + Ca? + F) = o, ce qui indique que la droite 

 passant par les deux points d'intersection de la courbe avec les deux asym- 

 ptotes prises pour axes, passe aussi par son point d'intersection avec la 3 me 

 asymptote. Les trois points d'intersection de la courbe avec ses asymptotes 

 sont donc en ligne droite. 



59. Les racines réelles de même signe de l'équation (I. 1) doivent être en 

 nombre pair. Lorsqu'elles sont toutes réelles, elles peuvent être toutes de même 

 signe; il se peut aussi que deux soient positives et les deux autres négatives. 

 S'il n'y a que deux racines réelles, elles doivent être de même signe. Enfin les 

 quatre racines peuvent être imaginaires. En cas de quatre racines réelles de 

 même signe, elles peuvent offrir les combinaisons suivantes : les quatre raci- 

 nes sont inégales; deux d'entre elles sont égales, et l'égalité existe entre les 

 deux racines moyennes ou entre les deux racines extrêmes; il y a deux cou- 

 ples de racines égales; trois des racines sont égales; enfin les quatre racines 

 sont égales. Le cas de deux couples de racines réelles de signes différents 

 permet l'inégalité des racines d'un même couple, l'égalité des racines d'un 

 seul couple et celle des deux racines de chaque couple. Lorsqu'il n'y a (pie 

 deux racines réelles, elles peuvent être inégales ou être égales; enfin l'hy- 

 pothèse de quatre racines imaginaires n'admet qu'un seul cas. 



60. Les hypothèses d'égalité de deux ou de trois racines dont la valeur 

 numérique est la plus grande, sont incompatibles avec celles de H et K 

 positifs; car en supposant x" = x'" , la relation de condition du signe de K 

 se réduit à \/x' > \/x n , relation inexacte; il en est de même si l'on suppose 

 x'" = x'" — x"; tandis que les suppositions de x'=x", ou de x" = x'" 1 ou 



