LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. ." 



dex' = x" = x'" donnent x" > x'", ou |/# u -{-\/x' >2|/aî", relations dont 

 l'une est vraie et dont l'autre peut l'être : cela est d'ailleurs évident, car l'ovale 

 étant inscrite dans le triangle asymptotique, la nappe à laquelle elle se réunit 

 doit pénétrer dans ce triangle, ce qui n'est possible que pour la nappe circon- 

 scrite, qui, d'après nos hypothèses, est celle qui converge avec les deux axes. 



61. L'hypothèse de deux couples de racines égales, n'importe qu'ils soient 

 de même signe ou de signes contraires, ainsi que celle de quatre racines éga- 

 les, rendent K et L nuls à la fois; elles font dégénérer l'équation (L) en une 

 équation complexe, puisqu'elles la rendent divisible par y. Ces hypothèses 

 doivent donc être écartées. 



62. L'hypothèse de quatre racines réelles, deux à deux de signes con- 

 traires, exige le changement de signe de deux des racines de l'équation (L 1). 

 En introduisant cette modification dans les expressions théoriques du § 06, 

 on trouve que toutes les racines des équations (IL 1. 2) et (III. 1.2) de- 

 viennent imaginaires ; on peut en conclure que l'hypothèse de quatre racines 

 imaginaires, dans l'équation (I. 1), rend également imaginaires les quatre 

 racines de l'une des équations (IL 1 ) ou (III. I), et laisse celles de l'autre 

 réelles, en plaçant un couple de tangentes- limites de chaque côté de leur 

 asymptote : il suffit, pour s'en assurer, de faire x t .= q= « 4- /3 ]/ - - 1 ; 

 ^"= Ta -|3[/-l; a?'"= t y+^ZTi.. X ' y = =fy—SV— 1. 

 On en conclut encore que la courbe doit exister sans discontinuité dans les 

 deux sens de l'une de ses asymptotes; la nappe qui converge avec cette 

 asymptote doit donc être anguinée. D'après ce qui précède, l'hypothèse de 

 deux couples de racines réelles de signes contraires, et celle de quatre ra- 

 cines imaginaires ne fournissent qu'une seule et même espèce. Il en est de 

 même pour l'hypothèse de deux couples de racines réelles de signes con- 

 traires, dont l'un est formé par deux racines égales, et pour celle de deux 

 seules racines réelles égales. Chacune des hypothèses restantes du cas de 

 quatre racines réelles et de celui de deux racines réelles fournit une espèce 

 distincte; car, dans chacun, les tangentes de chacune des trois directions 

 asymptotiques sont en même nombre, de même nature et placées de la même 

 manière par rapport à leurs asymptotes respectives. Il en résulte que le 

 1 er genre de la 2 mc classe contient sept espèces. 



