DES MOUVEMENTS PLANS. 21 



Y. Ellipse et courbes du deuxième ordre.- — Nous avons donné plus haut 

 une construction géométrique du centre de courbure de l'ellipse : en consi- 

 dérant un autre mode de génération , on obtient une construction plus simple 

 encore et qui s'applique aux autres courbes du second ordre. 



(Fig. 19.) Soient AB le grand axe, le centre, F et F' les foyers de 

 l'ellipse: celle-ci sera l'enveloppe d'un côté ST d'un angle droit, dont le 

 sommet parcourt la circonférence décrite sur le diamètre AB, l'autre côté SF 

 passant constamment par le foyer F. Joignons OS, et soit CF perpendiculaire 

 au côté SF : ces deux droites se coupent au centre instantané C. Projetons C 

 en M sur ST , M est le point qui appartient à l'enveloppe , MC est la normale 

 à celle-ci, et les angles CMF, CMF' sont égaux, car MF' est parallèle à OS : 

 FC prolongé coupe donc MF' en un point L, tel que .ML = MF. 



Pour construire directement la normale commune, je mène OC parallèle 

 à FC : F'C est égal et parallèle à OC, et MC = OS = OA. Le point C est 

 donc à une distance constante OA du point 31, en sorte que le lieu des points 

 C peut être décrit par l'extrémité d'une droite de longueur constante OA , 

 dont l'autre extrémité M parcourt l'ellipse donnée, et dont la direction passe 

 constamment par le foyer F'. Donc, soit F'R perpendiculaire au rayon vec- 

 teur MF' et coupant la normale à l'ellipse en K : RC est la normale au lieu 

 géométrique du point C. Prolongeons F'K. d'une longueur égale KH ; C étant 

 le milieu de F'L, LH est parallèle à CK : donc si l'on mène CN parallèle à LH, 

 CN est la normale au lieu géométrique des points C, ou la normale commune. 

 Or, en vertu du théorème VIII , le centre de courbure Z de l'ellipse doit être 

 sur une circonférence passant par les points C, F, et ayant son centre sur la 

 normale commune. Il est donc la projection Z, sur la normale à l'ellipse, du 

 point N où la normale commune est coupée par le côté SF. Mais LC étant égal 

 à CF et par suite à NZ , LZ sera égal et parallèle à CN ; donc Z est situé sur la 

 droite LU, et n'est autre chose que le point d'intersection de cette droite avec 

 la normale de l'ellipse. 



De là résulte une construction extrêmement simple de la normale et du 

 centre de courbure de l'ellipse. Soient F et F' les foyers, M le point donné, 

 MF, MF' les rayons vecteurs de ce point. 



