20 SUR LES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES 



que 0' esl le milieu de MP. (le faisceau est coupé par la normale CM en quatre 

 poinis M, C, Z, N, qui forment conséquemment une proportion harmonique; 

 donc Z est le centre de courbure cherché. 

 De là résulte celle construction très-simple : 



On tire le diamètre MO'P, la droite PO, et celle droite coupe la normale à 

 l'épicycloïde au centre de courbure Z. 



Cela a lieu pour les épicycloïdes intérieures ou extérieures. 

 IV. Spirale. d'Archimède. - - M. Chasles a démontré 1 le théorème sui- 

 vant : 



Si l'on donne un angle droit CSM dont un coté CSest indéfini, et l'autre SM 

 égal au rayon d'un cercle; que l'on fasse rouler le premier coté sur la circon- 

 férence du cercle, l'extrémité M du second côté décrira la spirale d'Archimède. 



(Fig. 16.) Le centre instantané est au point de contact C : CM est donc 

 la normale à la spirale. Prolongeons le rayon OC du cercle d'une longueur 

 CI = OC; I esl le pôle d'inflexion, d'après le théorème IV, car le centre de 

 courbure de la courbe roulante esl à l'infini. ICO esl la normale commune. 

 Cela posé, il suffit d'employer la conslruclion géométrique du § 11 , et l'on a 

 cette conslruclion très-simple : 



On élèvera en C une perpendiculaire à la normale CM, et, parle point K, 

 où elle coupe la droite IM qui joint le point décrivant au pôle d'inpexion, on 

 mènera KZ parallèle « ICO; KZ <oupe la normale CM en Z, centre de cour- 

 bure de la spirale. 



Lorsque la spirale est engendrée dans un cercle, à la manière ordinaire, 

 la conslruclion précédente s'applique tout aussi facilement, en observant que 

 OC est le rayon du cercle perpendiculaire au rayon vecteur OM de la spi- 

 rale. On retrouve ainsi la construction ordinaire de la normale à la spirale 

 d'Archimède, et le reste, pour la détermination du rayon de courbure , s'achè- 

 vera comme ci-dessus sans aucune difficulté. (Fig. 17.) 



1 Correspondance mathématique de M. Quetclet, t. VII, p. 41. 



