16 SUR LES PROPRIÉTÉS GEOMETRIQUES 



§11.-- Construction géométrique du centre de courbure. 



[Fig. /-/.) Le théorème IV conduit à une construction géométrique très- 

 simple du centre de courbure de la trajectoire d'un point lié à la figure mo- 

 bile, et par suite du centre de courbure de l'enveloppe d'une ligne mobile, 

 puisque, d'après le théorème VII, cette question rentre dans la première. 



Soient, en effet, C le centre instantané, 31 le point décrivant, CM la nor- 

 male, et I' la projection du pôle d'inflexion sur cette normale; soient, en 

 outre, M,, I,, les homologues des points M,I; prolongeons la perpendiculaire 

 II' jusqu'à sa rencontre en G avec la droite M, I, , et soit GZ parallèle à la nor- 

 male commune: cette parallèle coupe la normale C3I en Z, centre de cour- 

 bure. En effet, I étant le milieu de CI, , les droites GM„ GI', GC, GZ forment 

 un faisceau harmonique : ce faisceau est coupé par la normale MC en quatre 

 points M„ I', C, Z, qui sont en proportion harmonique; donc, M, étant l'ho- 

 mologue du point M, Z est bien le centre de courbure de la trajectoire de ce 

 dernier. Mais si je joins MI , et si je mène CK parallèle à I'I , ces deux droites 

 se coupent évidemment en K sur la droite GZ, à cause de l'égalité des trian- 

 gles II,G, CIK; donc, comme il suflît de déterminer le point K, nous avons 

 la construction géométrique suivante : 



{Fig. 15.) Par le point de rencontre K de la droite qui joint le point dé- 

 crivant au pôle d'inflexion, et de la perpendiculaire à la normale élevée par 

 le centre instantané, ou mène une parallèle à la normale commune : cette 

 parallèle coupe la normale à la trajectoire en un point Z qui est le centre de 

 courbure. 



Cette construction si simple, et qui d'ailleurs est absolument générale, 

 suppose seulement la connaissance du point décrivant, du centre instantané 

 et du pôle d'inflexion. Nous allons nous occuper de la détermination de ce 

 dernier point. 



