ii SUR LES PROPRIETES GEOMETRIQUES 



§9. — Centre de courbure d'une courbe de forme invariable mobile sur 



un plan. 



[Fig. 12.) Considérons maintenant deux positions infiniment voisines 

 AB, A'B', d'une courbe de forme invariable qui se déplace sur un plan; 

 menons CM normale à AB; M est le point de contact de cette courbe avec 

 son enveloppe, pour la première position, et CM est en même temps la nor- 

 male à l'enveloppe au point M. De même, C,M,, étant menée normale à A'B', 

 sera la normale à l'enveloppe pour cette seconde position, et le point de 

 rencontre Z de ces deux normales a pour limite le centre de courbure de 

 l'enveloppe, relativement au point M. Mais si l'on mène C'iM' normale à AB, 

 la normale C,M, n'est autre chose que la droite C3I' transportée dans la se- 

 conde position de la figure; d'où il résulte que le point de rencontre X des 

 droites CM, CM', supposé lié à AB, décrit une trajectoire dont CM, C,M, 

 sont deux normales infiniment voisines. Mais X, à la limite, coïncide avec 

 le centre de courbure de la courbe AB au point M; donc, enfin, — le centre 

 de courbure de la courbe qui se déplace, relatif au point M où elle touche 

 son enveloppe, décrit, étant lié invariablement à la courbe, une trajectoire 

 dont le centre de courbure coïncide avec celui de l'enveloppe elle-même au 

 point M. 



La démonstration étant générale, quant aux positions des points que l'on 

 considère, la question actuelle se ramène à celle qui a été traitée, et l'on a 

 ce théorème : 



Théorème VII. — - Lorsqu'une courbe invariable a un mouvement quel- 

 conque dans un plan, le centre de courbure de l'enveloppe des positions suc- 

 cessives de cette courbe est déterminé, pour une position quelconque, par le 

 théorème IV, en prenant pour point décrivant le centre de courbure de la 

 courbe mobile au point où elle touche son enveloppe. 



Il n'y aura donc jamais d'incertitude possible, tout étant ramené à un 

 énoncé simple et parfaitement général. 



