n SUR LES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES 



§ 8. — Corollaires du théorème IV. 



Corollaire I. — Si Ton regarde comme fixe la courbe prise d'abord pour 

 roulante, et vice versa, il faut permuter R et R' dans l'équation (4), ce qui 

 donne pour 2ft une valeur égale et de signe contraire : le pôle d'inflexion 

 décrit un arc de 180° autour du centre instantané. D'autre part, si, dans 

 l'équation (3), on permute u et v l'un dans l'autre, en changeant le signe de 

 U, l'équation ne cesse pas d'être satisfaite, donc : 



Soit Z le centre de courbure de la trajectoire d'un point M; renversons les 

 mouvements en faisant rouler la courbe , regardée d'abord comme fixe, sur 

 celle que l'on regardait comme roulante. La trajectoire du point Z, supposé 

 lié à la nouvelle courbe routante, aura réciproquement son centre de cour- 

 bure au point M. 



Corollaire II. {Fig. 11.) — Soient A, R deux points pris sur la normale 

 commune, et tels que I soii conjugué harmonique de R par rapport à C et au 

 point homologue du point A. Projetons A, I, R en A', I', R' sur une droite quel- 

 conque passant par le centre instantané, on sait que C, I', R' et l'homologue 

 du point A' seront encore en proportion harmonique; donc, d'après le théo- 

 rème IV, R' est le centre de courbure de la trajectoire qui décrit le point A' 

 de la figure mobile. Or, les lieux des points A', R' sont deux circonférences 

 décrites sur AC, BC comme diamètres; d'où je conclus : 



Tous les points de la figure mobile , situés sur une circonférence tangente 

 à la courbe fixe au centre instantané, décrivent des trajectoires qui ont leurs 

 centres de courbure sur une même circonférence , tangente aussi à la courbe 

 fixe au centre instantané. 



Corollaire III. - - Lorsque le point M est situé sur la circonférence du 

 cercle osculateur de la courbe roulante, on a : u = 2R' cos ? , et l'équation (3) 

 devient : 



t i _[ 



2ft cos ï 2R' cos s v 



