52 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



Ces conditions ramènent l'équation (L) à la forme Bxy' 2 -)- Cary + Fxy -\- 

 L = o. Celte forme indique que si L est nul, la courbe se réduit à ses trois 

 asymptotes. 



Puisque II et K sont nuls, on doit avoir x' = o et V^=\ / x r ' -{-{'x'''. 

 En introduisant ces conditions dans les expressions du § 06, on aura les 

 valeurs théoriques propres au 3 me genre. 



83. La condition de II et K nuls réduit les équations (1.4. 2.), (II. 1.2.) 

 et (III. 1.2.) comme suit : 



i" 



H" 



III" 



I . x [ C 2 x 3 ■+- 2<JFx' 2 -f- F*as — 4BL ] = o 



2 - [y ± h][ 4G V + 2BF //' 2 +2CL] = 0. 



1. y [ By + 2BFj/* + FY — ; *CL ] = o 



2. [ x ± J- ] [ 4C 2 x 3 + 2CFx°- + 2BL] = o. 



( 1. [ x ± i ] [ 4C 2 x 3 +• 2CFx 2 + 2BL] = o 

 (2. [ y ± i ] [ 4BV + 2BFi/ 2 + 2CL] = o. 



Ces équations indiquent (pie chaque asymptote ne peut rencontrer la 

 courbe qu'à l'infini. Il en résulte aussi que les racines des équations (III". 1.2) 

 sont respectivement les mêmes que celles des équations (II". 2) et (I". 2.) 

 dont les racines sont dans le rapport de = -, rapport qui existe également 

 entre les racines des équations (1". 1) et (II". 1). Ces relations entre les ra- 

 cines des six équations qui précèdent démontrent que toutes les hypothèses 

 possibles à l'égard de l'une d'elles doivent exister à l'égard des racines de 

 chacune des autres. On peut en conclure que, dans le 3 me genre, le nombre 

 des racines réelles, leur nature et leur signe doivent être les mêmes dans 

 chacune des six équations; d'où il résulte que les racines réelles de l'équa- 

 tion (I". 1) ne peuvent être de signes différents. Il n'y a donc que les hy- 

 pothèses des trois racines réelles de même signe, et d'une racine réelle qui 

 soient permises. En supposant ces racines négatives, le dernier terme de 

 l'équation (I". 1 ) doit être positif, et, par suite, L doit être négatif dans l'équa- 

 tion de la courbe, qui sera donc B.ry 2 -f Cx a y + Fxy — I, = 0, et l'équation 

 des tangentes-limites sera C 2 * 3 -f- 2FCx 2 -f ¥" 2 x -f- 4BL = 0. 



84. En cas de réalité des trois racines, la condition K = e donne Vx" = 



