LES LIGNES Dl T TROISIEME ORDRE. 55 



TROISIEME CLASSE. 



90. Caractères géométriques : Doux directions asymptotiques, dont l'une 

 est simple et l'autre double. 



Forme générale de l'équation : Bxy* + Gr" 2 -f- H/y -f- K.x -|- L = o (M). 



Conditions analytiques : D nul , et B différent de zéro. 



La forme (M) indique que chacun des deux axes possède une direction 

 asymptotique ; que la direction simple a été attribuée à l'axe des ordonnées, 

 qui est en même temps l'asymptote de cette direction, et que l'axe des ab- 

 scisses possède la direction double. Cet axe ne peut cependant être l'asym- 

 ptote de cette direction qu'en cas de G et de R nuls, et alors il en est 

 l'unique asymptote. 



91. En résolvant l'équation (M) par rapport à y, on trouve que l'équation 

 des tangentes-limites de la direction simple est 



K L H 2 



X° -4- - X 2 -+- — X -f- = (N). 



G G 4BG [ ' 



Il n'y a donc que trois tangentes-limites à dislance finie; la 4 me est rejetée à 

 l'infini. La courbe est, par conséquent, illimitée, d'un côté, dans le sens des 

 abscisses, et elle est limitée de l'autre côté. Le signe de G indique de quel 

 côté elle est limitée. La résolution de la même équation (M) par rapport ;i j- 

 donne pour équation des tangentes-limites de la direction double : 



2K 4GH K — 4GL 



Il peut donc y avoir quatre tangentes-limites, ou deux, ou aucune; mais, en 

 tout cas, la courbe doit s'étendre à l'infini dans les deux sens des ordonnées, 

 attendu que dans la partie sous- radicale de la valeur de x, le terme en \f 

 est essentiellement positif. 



