56 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



On voit aussi par celle valeur de oc que les cordes de la direction asyin- 

 ptotique double ont pour bissectrice une parabole dont l'équation est Bî/ 2 + 

 2G# + K = o. Elle coupe Taxe des abscisses au point •* = - — , qui est 

 son sommet, et elle dirige ses brandies dans le sens des abscisses de signe 

 contraire à celui de G. Lorsque G = o, cette parabole dégénère en deux droi- 

 tes parallèles, %" + K = o, qui sonl imaginaires, ou réelles et différentes, 

 ou réelles et coïncidentes, selon que Iv£ o. Dans le premier cas, les brandies 

 paraboliques de la courbe du 3"' c ordre sont imaginaires; dans le second cas, 

 elles existent au nombre de quatre, dont deux sont dirigées dans le sens des 

 x positifs, et les deux autres dans celui des x négatifs; dans le 3 me cas, il 

 n'y a que deux branches paraboliques, dirigées dans un même sens des ab- 

 scisses, indiqué par le signe contraire à celui de L. 



PREMIER GENRE. 



92. Caractères géométriques : La courbe coupe l'asymptote de la direc- 

 tion simple; elle ne possède pas, a distance finie, des asymptotes rectilignes 

 dans la direction double, mais elle y possède deux brandies paraboliques 

 du 2 me ordre. 



Conditions analytiques : G et H différents de zéro. 



Si nous désignons les racines de l'équation (N) par — x' } — x", — x'", 

 tous les termes de cette équation doivent être positifs; par suite, G, K et L 

 doivent être négatifs dans l'équation (M), et, à cause de G négatif, la courbe 

 sera illimitée dans le sens des x positifs; mais la désignation qui précède 

 présuppose l'existence de trois racines réelles de même signe. Il est cepen- 

 dant toujours permis de supposer que les racines négatives sont en nombre 

 impair, alors G sera négatif dans l'équation (M), et les deux autres coefficients 

 pourront aussi y être négatifs. On pourra donc donner à l'équation du I " 

 genre la forme \ïxif — Gx^-\- \\y — K.r — L =0 (M'), et alors les équations 

 (S) et (P) seront: 



2K 4GL K 2 — 4GL 



o ■. et j/ 1 y 2 +• -— y 



B B- B* 



