LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 57 



93. Sept hypothèses sont possibles à l'égard des racines de l'équation (X), 

 cl toutes fournissent des cas différents. Il y a donc sept espèces dans le 1 er 

 genre. Dans les cinq premières, l'équation (P) admet au moins deux racines 

 réelles et différentes. II existe donc, dans chacune de ces cinq espèces, au 

 moins une zone dans la direction douhle, et, par suite, les deux branches 

 hyperboliques ne peuvent appartenir à une même nappe. Dans la 6 me es- 

 pèce, les quatre racines de l'équation (P) sont imaginaires; la courbe existe 

 donc sans discontinuité dans les deux sens des ordonnées; et les deux bran- 

 ches hyperboliques appartiennent à une même nappe qui, par conséquent, 

 doit être anguinée. Dans la 7 mc espèce, l'équation (P) admet deux racines 

 réelles qui sont égales, et les deux autres sont imaginaires; la courbe existe 

 donc aussi sans discontinuité dans les deux sens des ordonnées, mais elle 

 possède un point de croisement, résultant de la réunion des deux nappes. 



La résolution de l'équation (N) par la méthode de Cardan fait connaître 

 que la nature de ses racines dépend du signe et de la valeur du polynôme 

 (8BK 5 — 36RGKL - f 27G'H')* — UW (K s — 3GL) 3 , ou bien H* — ■— 

 [K(9GL— 2K 2 ) ± 21/R 2 — 3GL) 3 ]; ce polynôme fournit donc aussi les con- 

 ditions analytiques des espèces. 



9i. Première espèce (4.6 me espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe possède deux nappes hyperbolo- 

 paraboliques , dont Tune est ambigène et l'autre inscrite, et une ovale con- 

 juguée. 



Conditions analytiques : Les trois racines de l'équation (N) sont réelles, 

 de même signe et inégales; ÏP< ^[K(9GL— 2K 3 ) + 2 |/(~K 2 — 3GL) 3 1- 



Exemple : xxf—a*— \\x + 8# — 26 = o. {Fig. 48.) 



95. Deuxième espèce (49 ,m ' espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe se compose de deux nappes pareil- 

 les à celles de l'espèce précédente, et d'un point conjugué isolé. 



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