f,() LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



Les deux racines de l'équation (IV) sont réelles, de même signe, et iné- 

 gales, ou égales, ou imaginaires, selon que K 2 — 4GL=; o. Si G et L sont 

 de signes différents, ces racines sonl réelles et de signes contraires. L'équa- 

 lion (N') n'admet donc que quatre hypothèses; niais, comme elle est indé- 

 pendante de R, les hypothèses de G et L de même signe, avec K. 2 — 4GL > o, 

 ne déterminent pas complètement la nature des racines de l'équation (P'); 

 il faut encore savoir si R et K sont de même signe, ou s'ils sont de signes 

 contraires. Chacun des cas de K 2 — 4GL^o produit donc deux espèces 

 différentes; par suite, le 2 me genre contient six espèces, qui sont les 8 n,e à 

 13 me de la 3 me classe. 



102. Huitième espèce (omise par Newton). 



Caractères géométriques : La courhe se compose de deux nappes hyperbolo- 

 paraholiques inscrites, et d'une ovale conjuguée, séparée des deux nappes 

 par l'asymptote de la direction simple. (Cette espèce est décrite par Cramer.) 



Conditions analytiques : Les deux racines de l'équation (N') sont réelles, 

 de même signe, inégales et négatives. Les quatre racines de l'équation (P') 

 sont réelles et inégales; G, K et L sont de même signe et négatifs dans 

 l'équation (M'), et K 2 — 4GL > o. 



Exemple : x\f — y? — 10,r — 16 = o. {Fig. 55..) 



103. Neuvième espèce (omise par Newton). 



Caractères géométriques : La courhe se compose de deux nappes pareilles 

 à celles de l'espèce précédente, et d'un point conjugué, isolé, séparé des deux 

 nappes par l'asymptote de la direction simple. (Cette espèce a été décrite 

 par Cramer.) 



Conditions analytiques : Les deux racines de l'équation (N') sont réelles, 

 égales et négatives, et l'équation (P') admet quatre racines réelles dont deux 

 sont égales; G, K et L sont négatifs dans l'équation (M'), et K 2 — 4GL = o. 



