62 LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 



Exemple : xy' 2 — x 2 + Ax — h = o. {Fig. 59») 



107. Treizième espèce (56 me espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe se compose d'une nappe conchoïdale, 

 el d'une nappe parabolique , séparée de la première par l'asymptote de la 

 direction simple. 



Conditions analytiques : Les deux racines de l'équation (N') sont réelles 

 et de signes contraires, et les quatre racines de l'équation (P') sont imagi- 

 naires; G est négatif dans l'équation (31'), L y est positif et K peut être 

 quelconque. 



Exemple : xy"' — x* + Sx + i = o. [Fig. 60.) 



TROISIÈME GENRE. 



108. Caractères géométriques : La courbe coupe l'asymptote de la di- 

 rection simple. La direction double est dépourvue d'asymptotes et de bran- 

 ches illimitées. 



Conditions analytiques : G est nul, H est différent de zéro, et R est de 

 même signe que B. 



Ces conditions donnent à l'équation de la courbe la forme Bxy* -j- K.r 

 + Uy ± L = o (31"). En résolvant cette équation par rapport à y et par 

 1-apport à x, on trouve, pour la détermination des tangentes -limites de la 



L H 2 



direction simple, x* ± - x — — _ = o (N"), et pour celles de la direction 

 double (V + K) 2 = o (P"). Mais l'équation (31") donne x = - 3-JË.J. Or, 

 si By'-f K = o, la valeur de x devient infinie. Les tangentes-limites de la 

 direction double, lorsqu'elles existent, sont, par conséquent, des asymptotes, 

 ce qui a lieu pour tous les genres dans lesquels G est nul. Lorsque K est 

 positif, la direction double est dépourvue de tangentes-limites et d'asym- 



