LES LIGNES DL TROISIEME ORDRE 63 



ploies; la courbe doit donc exister sans discontinuité dans les deux sens des 

 ordonnées, et comme elle ne possède des branches illimitées que dans celle 

 direction, elle se réduit à une seule nappe hyperbolique anguinée, qui ne 

 peut être coupée qu'en un seul point pour toute droite de la direction asym- 

 ptotique double. L'équation (N") n'admet qu'une seule hypothèse, celle de 

 deux racines réelles de signes contraires. Il n'y a donc dans le 3 me ifenre 

 qu'une seule espèce, qui est la \i mu de la 3 me classe (Gl""' et 62""' espèces 

 de Newton). Les courbes de cette espèce peuvent èire munies d'un centre de 

 symétrie inverse, ce qui a lieu si les deux racines de l'équation (N") ont les 

 mêmes valeurs numériques. L'esi de celle spécialité que Newton a forme 

 sa 62"' e espèce. 



Exemples : xy* -j- 2a? -f- Sy -f- 4 = o. 



xi/ 1 -f- x -\- h y = o. {Fi<J- 61.) 



QUATRIÈME GENRE. 



109. Caractères géométriques : La courbe ne rencontre pas, à dislance 

 finie, l'asymptote de la direction simple; ses deux branches sont hyperbo- 

 liques du 3 me ordre; elle possède un axe de symétrie directe, et elle est dé- 

 pourvue de branches paraboliques. 



Conditions analytiques : G et H sont nuls, et K est positif, c'est-à-dire 

 de même signe (pie B. 



Ces conditions réduisent l'équation (N") à x ± - = o, mais elles ne mo- 

 difient pas l'équation (P"); il n'y a donc qu'un seul cas possible et, par suite, 

 qu'une seule espèce, qui est la 15 me de la 3"' e classe (63 me espèce de Newton). 

 Dans cette espèce, la courbe consiste en une seule nappe concboïdale, que 

 toute droite de la direction asymptolique double doit couper en un point, 

 et ne peut couper qu'en un seul point. 



Exemple : xy' 2 -f- x-- k = o. (Fig. 62.) 



