(H LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



CINQUIÈME GENRE. 



I 1 0. Caractères géométriques : La courbe coupe l'asymptote de la di- 

 rection simple, et elle possède dans cette direction deux branches illimitées 

 qui sont de nature hyperbolique du 2 me ordre. Elle possède, dans la direction 

 double, deux asymptotes parallèles avec chacune desquelles elle converge 

 dans les deux sens. Les quatre branches illimitées qui sont dans la direction 

 double sont d'une nature parabolique particulière au 3 me ordre. 



Conditions analytiques : G est nul, H est différent de zéro, ainsi que K, 

 dont le signe diffère de celui de B. 



Ces conditions donnent à l'équation (N") la forme x~ ± - x -+- — =o(S ! "), 

 et elles réduisent l'équation (P") à {y- — -)" = o (P'"). Cette dernière équa- 

 tion indique qu'il y a dans la direction double deux tangentes-limites distinc- 

 tes, équidistantes de l'axe des abscisses. Ces tangentes, qui sont des asymptotes, 

 partagent la courbe en trois parties séparées. L'équation (N'") doit avoir ses 

 racines de même signe; elles peuvent être réelles et inégales, ou réelles et 

 égales, ou imaginaires, selon que BL 2 — KH 2 == o. Mais si BL 2 — KH 2 = o, 

 l'équation de la courbe devient Byx- — Kx q= L± Lyj/| = o = (y — |/|) 

 (Bjj/ + a?l/BK =f L[/|); elle devient donc complexe; l'hypothèse de deux 

 racines égales doit, par conséquent, être écartée. Celles de deux racines réelles 

 inégales et de deux racines imaginaires donnent seules des lignes réelles du 3"" 

 ordre. Elles produisent deux espèces, qui sont les 1 G nie et 1 7 me de la 3 me classe. 

 Dans le premier cas, la courbe est interrompue, dans le sens des abscisses, 

 par le zone comprise entre les deux tangentes-limites de la direction simple, et 

 elle coupe l'asymptote de cette direction au delà de l'une des deux asympto- 

 tes de la direction double. Dans le second cas, elle s'étend sans discontinuité 

 dans les deux sens de l'axe des abscisses, qu'elle coupe au point #= ± -, 

 et elle coupe l'asymptote de la direction simple entre les deux asymptotes de 

 la direction double. 



III. Seizième espèce (57""' espèce de Newton). 



