68 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



ptote rectiligne à distance finie; elle est pourvue d'un axe de symétrie directe, 

 et elle possède deux branches illimitées d'une nature spéciale. 



Conditions analytiques : E doit être différent de zéro. 



En résolvant l'équation (G) par rapport à y , on trouve que la droite 2E// 

 -j- Ex + H = o est un axe de symétrie directe de la courbe. Cette droite 

 coïncide avec l'axe des abscisses, si F et H sont nuls. Dans ce cas, l'équa- 

 tion (G) est réduite à Dr 5 -f Ey--\- G* 2 -f- Ex -\- L = o, et elle peut encore 

 être privée d'un terme par la détermination de la position de l'axe des 

 ordonnées. En remplaçant x par (x' + a), on trouve que l'évanouissement 

 du terme en x n'est pas toujours possible, mais que celui du terme en x a -, 

 ou celui du dernier terme, est toujours praticable, en prenant pour leva- 

 nouissement du terme en x-, a = — — , et pour celui du dernier ternie 

 a 7, A — a 2 -t- -a-f: = o. Or, x = — — est le diamètre de la direc- 



1 D D ' D ' -->D 



tion de l'axe des abscisses. Pour faire évanouir le terme en x 1 , il faut donc 

 transporter l'axe des ordonnées au centre de la moyenne distance des points 

 d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses, et pour faire évanouir le 

 dernier ternie, il faut transporter cet axe à l'un desdits points d'intersection, 

 qui, par suite de la symétrie directe par rapport à l'axe des abscisses, sont 

 en même temps les points de contact des tangentes-limites de la direction de 

 l'axe des ordonnées. Il faut donc prendre l'une de ces tangentes-limites pour 

 axe. L'équation de la courbe aura alors la forme : Dx 5 -(- Eif-\- Gar + K,z = o, 

 et, par suite, toute la courbe se trouvera du côté des x négatifs. Avec cette 

 forme, c'est une des tangentes-limites extrêmes qui a été prise pour axe des 

 ordonnées, laquelle peut, en certains cas spéciaux, appartenir à la partie illi- 

 mitée de la courbe, mais qui, en général, ne lui appartient pas. Si l'on veut 

 que ce soit toujours la tangente -limite de cette partie qui serve d'axe des 

 ordonnées, il faut changer le signe de E; l'équation de la courbe sera alors 

 Dx* — Ey 9 -f Gx 2 -\- Kx = o (O), et la recherche des espèces dépendra de 

 la discussion de l'équation x (Da? 2 -j- Gx -f K) = o, ou simplement x 3 + - x 

 4- ^ = o (R). Dans celte équation, l'une des racines peut être nulle, et elles 

 peuvent l'être toutes les deux; ces racines ue peuvent toutefois être réelles 



