LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 69 



et de signes contraires. Il y a donc cinq hypothèses possibles à l'égard des 

 racines de l'équation (R). Chacune de ces hypothèses donne naissance à une 

 espèce distincte; par suite, le I er genre comprend cinq espèces, dans cha- 

 cune desquelles la courbe possède deux branches illimitées, dont l'une et 

 l'autre sont dirigées dans le sens des x positifs et en même temps dans un 

 des deux sens de l'axe des ordonnées. 



118. Première espèce (67 me espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe se compose d'une nappe parabolique 

 en forme de cloche, et d'une ovale conjuguée. 



Conditions analytiques : Les deux racines de l'équation (R) sont réelles et 

 inégales; G' 2 — 4KD > o, et K différent de zéro. 



Exemple : x* — rf + I3* 2 + 36* = o. {Fig. 69.) 



119. Deuxième espèce (G9 me espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe se compose d'une nappe parabolique 

 en forme de cloche, et d'un point conjugué isolé. 



Conditions analytiques : Les deux racines de l'équation (R) sont égales ; 

 G* — 4KD = o; G et K différents de zéro. 



Exemple : x z — y- + 18*;' -f 81 « = o. {Fig. 70.) 



120. Troisième espèce (68" ,e espèce de Newton). 



Caractères géométriques : La courbe consiste en une seule nappe para- 

 bolique nouée. 



Conditions analytiques : L'une des racines de l'équation (R) est nulle; 

 K = o; G différent de zéro. 



