LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 71 



espèce peuvent être considérées comme les types de cette nature. S'il nous 

 était permis de nous exprimer ainsi, nous dirions que, dans le 1 er genre, 

 il y a trois asymptotes rectilignes, dont deux sont imaginaires et la 3 me est 

 située à dislance infinie. 



DEUXIÈME GENRE. 



124. Caractères géométriques : ha direction asymptotique contient une 

 asymptote à distance finie qui ne coupe pas la courbe , tandis que toute au- 

 tre droite de cette direction peut et doit la couper en un point. La courbe 

 possède quatre brandies illimitées, dont deux convergent avec l'asymptote 

 rectiligne de chaque côté, dans des sens opposés. Les deux autres branches 

 convergent avec une parabole du 2 me degré. 



Conditions analytiques : L'équation de la courbe est privée du terme en 

 y-{E = o); et elle doit contenir celui en xy (F différent de zéro). 



Les conditions précitées donnent à l'équation de la courbe la forme : 

 D* 3 + Vxy -f Gx- + tiij + Kx + L = o, d où y == - d*'^^*-*- 1 - . Cette 

 valeur indique que la droite Fx + E = o est l'asymptote qui, par consé- 

 quent, est prise pour axe des ordonnées, lorsque H = o. Dans ce cas, l'équa- 

 tion doit forcément contenir le dernier terme, sans quoi elle serait divisible 

 par x. Les deux termes Uy et L ne peuvent donc pas disparaître ensemble , 

 et l'évanouissement de trois termes de l'équation ci-dessus ne peut produire 

 que les deux formes : Dx 3 + Fxy + L =o (S) et Dx 3 + Fxy + Uy = o (S'). 

 La première indique que l'asymptote de la direction triple est prise pour axe 

 des ordonnées, et que l'axe des abscisses est une droite tangente à la para- 

 bole 3Dx°--\-Yy = o, au point de son intersection avec l'axe des ordonnées. 

 C'est celte parabole qui converge avec les deux branches paraboliques et 

 qui dirige ses branches dans le sens des ordonnées, de signe contraire à ce- 

 lui de F. La forme (S') indique que l'axe des abscisses est une tangente à la 

 courbe, menée par son unique point d'inflexion, et que l'axe des ordonnées 

 est une parallèle à l'asymptote menée par ledit point d'inflexion. Deux 

 branches de la courbe convergent avec cette asymptote des deux côtés, dans 

 des sens opposés. Comme elle ne coupe pas la courbe, ces branches doivent 



