LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 7S 



en ayant égard à leur conformation dans l'espace limité, et il en a trouvé 

 soixante-douze, nombre qui a été porté à soixante-dix-huit par Stirling et 

 par Cramer, ses continuateurs. Chacun de ces auteurs commence par distin- 

 guer quatre cas dans l'équation générale des lignes du 3 me ordre. 



MÉTHODE D'EULER. 



1 28. Chacun des quatre cas d'Euler répond à une de nos classes, c'est-à-dire 

 à une des hypothèses possibles à l'égard des racines de l'équation (C). Sous ce 

 rapport, notre méthode concorde avec celle de cet auteur; mais elle en diffère, 

 en ce qu'il n'a pas, comme nous, admis ces quatre cas comme formant le I e ' 

 degré de division : ils produisent cependant quatre grandes familles de courbes 

 bien distinctes. Elle en diffère encore, en ce qu'EuIer n'a considéré la dis- 

 tinction de ces cas que comme des conditions analytiques, sans y attacher de 

 signification géométrique; tandis que nous leur avons attribué le caractère 

 géométrique qui leur est propre. Toute expression analytique a une signifi- 

 cation géométrique : il est parfois assez difficile de la déterminer; elle n'en 

 existe pas moins : le tout est de la trouver. 



129. Le nombre des espèces d'Euler est le même que celui de nos genres. 

 Euler attache aux conditions analytiques de ses espèces une signification 

 géométrique; mais elle n'est pas la même que celle que nous attribuons aux 

 conditions analytiques de nos genres. Euler distingue ses espèces, par le 

 nombre des branches infinies de la courbe, et par la nature de ces branches 

 qu'il détermine par celle de leurs asymptotes curvilignes. Pour tout ce qui 

 concerne sa division en espèces, il se préoccupe principalement de ce qui se 

 passe à la limite du fini, et il n'a pas égard aux phénomènes qui se passent 

 dans l'espace limité, même lorsqu'ils sont produits par les asymptotes. Il ne 

 peut pas en être autrement, du moment qu'il s'agit d'asymptotes curvilignes; 

 car, sous cette dénomination, on ne doit pas entendre telle ou telle courbe 

 déterminée, mais bien toutes les courbes d'une même nature, ou, pour mieux 

 dire, toutes les parties de courbes douées de celte nature. Les caractères 

 d'Euler sont difficiles à apprécier comme faits : leur recherche exige la con- 

 naissance et l'application des procédés du calcul infinitésimal. On ne peut, 



