76 LES LIGNES Dl TROISIEME ORDRE. 



d'ailleurs, apprécier toutes les natures diverses des branches illimitées de 

 toutes les lignes d'un ordre, au moyen de la connaissance des natures des 

 branches illimitées des lignes des ordres inférieurs ; car il existe, dans chaque 

 ordre, des lignes munies de branches illimitées de natures spéciales, étran- 

 gères aux lignes des ordres inférieurs, et parfois aussi à toutes les branches 

 illimitées des autres lignes du même ordre. La méthode d'Euler exige donc- 

 la connaissance a priori de ces natures spéciales, ou bien elle exige que cette 

 connaissance soit acquise par des moyens autres que ceux sur lesquels cette 

 méthode est basée. Aussi fait -elle seulement connaître tpie ces natures sont 

 spéciales à Tordre ou à certains cas de cet ordre; mais elle n'indique pas 

 comment les branches illimitées qui possèdent ces natures spéciales se com- 

 portent à distance finie vis-à-vis d'autres lignes plus simples et connues. 

 Elle ne suffit donc pas pour se faire une idée exacte de la conformation de 

 ces branches. Nous ajouterons, enfin, que si celte méthode se prèle à une 

 application générale, elle donne cependant, pour les ordres supérieurs au 

 3 me , un nombre de genres plus grand que celui qu'on obtient par notre 

 méthode. On doit du moins le croire, puisqu'Euler, en appliquant sa méthode 

 au 4 mc ordre, y trouve cent -quarante -six espèces (genres), tandis que les 

 recherches que nous avons faites, au moyen de nos procédés, ne nous ont 

 donné que cent-vingt genres. 



L'adoption des asymptotes reclilignes et de leurs affections dans l'espace 

 limité, comme caractères géométriques des genres, ne présente pas les incon- 

 vénients précités. Dans toutes les lignes d'un ordre quelconque, le nombre des 

 asymptotes rectilignes est limité, et ces asymptotes sont déterminées de direc- 

 tion et de position. Leurs affections dans l'espace limité sont des faits réels, 

 saisissables , et qui fournissent un moyen facile de se faire une idée exacte 

 de la conformation des branches vers lesquelles elles convergent. Il est vrai 

 qu'il y a des branches illimitées dépourvues d'asymptotes rectilignes, ou dont 

 les asymptotes rectilignes sont situées à distance infinie; mais ces branches 

 sont dans le même cas que celles des paraboles du 2 me ordre. Toutes con- 

 vergent, en effet, avec de pareilles paraboles. L'absence d'asjmptotes recti- 

 lignes à distance finie est donc elle-même un indice de la conformation 

 de la courbe. La recherche des asymptotes rectilignes n'exige d'autres pro- 



