78 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



Los premières appartiennent aux équations du premier et du troisième cas 

 et les autres à celles du deuxième et du quatrième cas. Il en résulte que le 

 premier cas de Newton comprend les trois premiers cas d'Euler, par consé- 

 quent, nos trois premières classes, et que les trois derniers cas de Newton 

 sont compris dans le quatrième cas d'Euler, ou dans notre i'" c classe, dont 

 chacun de ces cas forme un genre. 



132. Pour établir ses quatorze divisions, Newton a eu égard au nombre 

 et à la qualité des parties de la courbe munies de branches illimitées et, par 

 suile, il partage les lignes du 3"' e ordre en : 



Hyperboles redondantes (l re , 2 n,e , 3 n,c et i mc divisions); 

 Hyperboles défectives (5 me et G me divisions); 

 Hyperboles paraboliques (7 me et 8 me divisions); 

 Hijperbolismes (9 me , 10 me et ll me divisions); 



Trident, paraboles divergentes et parabole cubique (12 mc , 13 me et li me 

 divisions). 



Il dislingue ensuite les hyperboles par le nombre de leurs diamètres, en 

 prenant le mot dans l'acception restreinte du 2 rae degré. Celles qui en sont 

 dépourvues forment les l re , 5 n,e et 7 me divisions, celles qui en possèdent 

 un forment les 2 me , 6 rae et 8 me divisions, et la 3 me division comprend les 

 hyperboles qui possèdent trois diamètres bissecteurs. Il forme, en dernier lieu, 

 une division distincte des hyperboles redondantes dans lesquelles les trois 

 asymptotes passent par un même point : c'est la 4 me division. 



Dans tous les cas d'un ou de plusieurs diamètres bissecteurs, la courbe est 

 s\ métrique par rapport à ces droites : ce sont les cas de non-intersection de la 

 courbe avec l'asymptote. Les divisions de Newton, sauf la 4 me , ne sont donc 

 autre chose que nos genres; et s'il se fût abstenu de former une division 

 dictincte des cas de réduction du triangle asymplotiquc à un point, s'il eût 

 formé deux divisions de chacune des trois espèces d'hyperbolismes dans les- 

 quelles il peut également exister un diamètre bissecteur, il eût obtenu un 

 nombre de divisions égal à celui de nos genres. Nous ajouterons qu'en for- 

 mant une division distincte des hyperboles redondantes dans lesquelles le 

 triangle asymptotique est réduit à un point, circonstance indiquée par l'an- 



