LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 79 



nulation du coefficient b qu'il donne au terme en a? 2 de son équation générale, 

 Newton aurait dû, pour opérer systématiquement, former également une di- 

 vision distincte des hyperboles défectives dans les équations desquelles le terme 

 en x* manque. Il est vrai que ces hyperboles ne possèdent qu'une seule asym- 

 ptote; mais elles possèdent, par contre, un système de diamètres conjugués qui 

 forment avec l'asymptote un triangle, qui est l'analogue du triangle asymptotique 

 des hyperboles redondantes et qui se réduit aussi à un point, en cas d'annula- 

 tion du coefficient b. Les modifications qui en résultent dans les hyperboles dé- 

 tectives sont au moins aussi sensibles et aussi remarquables que celles que la 

 réduction du triangle asymptotique produit dans les hyperboles redondantes. 



133. Newton prend pour base principale de sa sous-division en espèces 

 la discussion de l'équation fournie par le polynôme sous-radical de la valeur 

 de y : celte équation fournil les tangentes-limites. S'il se fût borné à ce moyen 

 et s'il l'eût appliqué systématiquement, il eût obtenu le même nombre d'es- 

 pèces que nous; mais il a, d'un côté, omis quatre cas, produits par la varia- 

 tion des tangentes-limites : ce sont ceux de nos 15 me et 16 n,e espèces de la 2" ,e 

 classe, et 8 me et 9 me espèces de la 3 me classe. Il a aussi omis deux autres cas, 

 qui forment les premières sous-divisions des 8 me et 9 me espèces de la 2 me classe. 

 D'un autre côté, il a, par contre, admis comme signes distinctifs d'espèces, 

 des affections différentes de celles qui sont produites par la variation des tan- 

 gentes-limites, savoir : d'abord, l'annulation du triangle asymptotique, qui a 

 fourni neuf espèces, ses 24 me à 32 me ; ensuite, le changement de position de ce 

 triangle, qui a donné ses 6 ,ne , 7 me , li me , 16 me , 17 me , 19 me et 23 me espèces; 

 en troisième lieu, dans les hyperboles redondantes munies d'un seul diamètre, 

 la différence de position de l'hyperbole inscrite et de l'hyperbole circonscrite, 

 ce qui a produit la 15 me espèce et la 17 me déjà citée; enfin, en dernier lieu, 

 la symétrie inverse, qui a donné les 38 me , 59 me et 61 me espèces, ainsi que 

 la 33 me comprise dans les neuf hyperboles redondantes dans lesquelles le 

 triangle asymptotique est réduit à un point. 



Newton n'a cependant pas admis d'une manière sytématique, comme signes 

 distinctifs d'espèces, les conditions analyiiques des caractères précités. L'est 

 ainsi qu'il n'a pas eu égard au changement de signe du coefficient b et à son 

 annulation dans les hyperboles redondantes munies d'une partie anguinée, 



