

SUR UN POINT 



DE 



LA THÉORIE DE LA FORMULE DE STIRLING. 



% 1 . La question dont je vais m'occuper dans celte note est la suivante : 

 Si l'on prend d'une manière approchée pour développement de logT(l -)-«), 



,, . .. .. B,. B,. B,. (-t)-'B^, 



i os; 2r« -+- alioea — 1 ) ■+- : + ; -+- — ; — r , 



13 v & ' 1.2.o 3.4a 3 5.6a 5 (2m — 1). 2m. a"- 4 



déterminer la valeur de m qui fournit la plus grande approximation; ou, 

 en d'autres ternies , déterminer à priori le nombre de termes qu'il faut pren- 

 dre dans la formule de Stirling* , pour que l'erreur soit la moindre possible. 



La série de Stirling, dont la haute importance pratique n'est pas discuta- 

 ble, mais dont la théorie est restée longtemps fort incomplète, a été, dans 

 ces vingt dernières années, l'objet de travaux remarquables, et l'on a aujour- 

 d'hui diverses démonstrations de ce beau théorème qui fut un pas décisif 

 dans cette théorie **. 



" La formule citée est due à Stirling, seulement lorsque a est un nombre entier. Nous la 

 désignerons cependant toujours sous le nom de formule (te Stirling. 



" On peut consulter à ce sujet, dans le Journal île Crelle, les mémoires de M. Raabe, t. XXV 

 et XXVIII, et un mémoire de M. Malmsten, t. XXXV; un mémoire de Cauchy, dans le t. II des 

 Exercices d'analyse et de physique mathématique ; enfin un mémoire de M. Schaar, dans le 

 XXII' volume des Mémoires des sava?its étrangers de l'Académie de Bruxelles. 



